[論文レビュー] A model structure on internal categories in simplicial sets

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、単体的集合内の内部圏におけるモデル構造を確立し、完全セガール空間モデル構造を備えた双単体的集合へのナース関手が弱同値を保存および反映することを示している。主な結果は、このモデル構造が∞-圏のホモトピー理論を提示しており、完全セガール空間モデルカテゴリとクィレン同値であるということであり、内部プレシェーブと単体的圏への応用を含む。

ABSTRACT

We put a model structure on the category of categories internal to simplicial sets whose weak equivalences are reflected by the nerve functor to bisimplicial sets with Rezk's model structure. This model structure is shown to be Quillen equivalent to Rezk's model structure, thus internal category are another model for $(\infty,1)$-categories.

研究の動機と目的

• ∞-圏のホモトピー理論をモデル化する単体的集合内の内部圏のカテゴリにモデル構造を定義すること。
• 内部圏から双単体的集合へのナース関手が、完全セガール空間モデル構造に関して弱同値を保存および反映することを示すこと。
• 内部圏上のプレシェーブの理論を拡張し、内部圏上のクィレン同値なモデル構造を構成すること。
• 単体的圏から内部圏への包含関手が、それらに対応する∞-圏上で同値を誘導することを示すこと。

提案手法

• 双単体的集合（完全セガール空間）上の射影的モデル構造をナース関手を介して内部圏に転送すること。
• 内部圏における弱同値を、双単体的集合へのナース関手を施した際にリツク同値になる写像として定義すること。
• キーとなる技術的補題（ラッピング性質に関するもの）を用いて公理を検証することで、内部圏上のモデル構造の存在を証明すること。
• 固定された内部圏上の内部プレシェーブに射影的モデル構造を構成し、単体的プレシェーブの射影的モデル構造を一般化すること。
• 内部圏間の弱同値が、それらの内部プレシェーブカテゴリ間でクィレン同値を誘導することを示すこと。
• ベルナーゲルの相対圏およびクィレン同値に関する枠組みを用いて、単体的圏から内部圏へのナース関手が、関連する∞-圏上で同値を誘導することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単体的集合内の内部圏のカテゴリは、∞-圏のホモトピー理論を提示するモデル構造を備えているか？
• RQ2 内部圏のモデル構造における弱同値は、双単体的集合へのナース関手を施した際にリツク同値になるものに正確に一致するか？
• RQ3 内部圏上のプレシェーブのモデル構造は、単体的圏上の単体的プレシェーブの射影的モデル構造を一般化するか？
• RQ4 内部圏間の弱同値は、それらの内部プレシェーブカテゴリ間でクィレン同値を誘導するか？
• RQ5 単体的圏から内部圏への包含関手は、∞-圏的レベルでクィレン同値であるか？

主な発見

• 単体的集合内の内部圏のカテゴリは、ナース関手を施した際に双単体的集合でリツク同値になる写像が弱同値となるモデル構造を備えている。
• このモデル構造は完全セガール空間モデルカテゴリとクィレン同値であり、∞-圏のホモトピー理論の有効なモデルであることが確立された。
• 内部圏上のプレシェーブのモデル構造が構成され、弱同値がプレシェーブカテゴリ間でクィレン同値を誘導するホモトピー的不変性が示された。
• 単体的圏から内部圏へのナース関手は弱同値を保存し、関連する∞-圏上で同値を誘導する。
• 単体的圏から内部圏への包含関手はクィレン関手ではないが、相対圏としての弱同値を誘導するため、二つのモデルが∞-圏的レベルで同値であることが示された。
• 証明は、完全セガール空間上の射影的モデル構造を転送することに依拠し、内部圏上のモデル構造を確立するために、ラッピング性質に関するキーとなる技術的補題が用いられた。