[論文レビュー] A new construction of compact 8-manifolds with holonomy Spin(7)

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 1999

Geometry and complex manifoldsMathematics参考文献 9被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、孤立した特異点をもつCalabi–Yau 4-軌道体と、これらの特異点を固定する反正則的で等長的な対合をもつものから出発し、コンpakto 8次元多様体の新規構成法を提示する。この対合により構造群はSU(4)からSpin(7)に低下し、商軌道体はAsymptotically Locally Euclidean (ALE) Spin(7)-多様体を用いて解消され、全Spin(7)ホロノミーを持つ新たなコンパクト8次元多様体が得られる。主な貢献は、中間ベッチ数b⁴が11,662に達する例の発見であり、これは従来の構成法と比べて顕著に上回る。

ABSTRACT

The exceptional holonomy groups are G2 in 7 dimensions, and Spin(7) in 8 dimensions. In a previous paper (Invent. math. 123 (1996), 507-552) the author constructed the first examples of compact 8-manifolds with holonomy Spin(7), by resolving orbifolds T^8/G, where T^8 is the 8-torus and G a finite group of automorphisms of T^8. This paper describes a different construction of compact 8-manifolds with holonomy Spin(7). We start with a Calabi-Yau 4-orbifold Y with isolated singularities, and an isometric, antiholomorphic involution σof Y fixing only the singular points. Let Z=Y/. Then Z is an orbifold with isolated singularities, and a natural Spin(7)-structure. We resolve the singular points of Z to get a compact 8-manifold M, and show that M has holonomy Spin(7). Taking Y to be a hypersurface in a complex weighted projective space, we construct new examples of compact 8-manifolds with holonomy Spin(7), and calculate their Betti numbers b^k. The fourth Betti number b^4 tends to be rather large, as high as 11,662 in one example.

研究の動機と目的

• トーラスに基づく既存の構成法とは異なる、コンパクト8次元多様体におけるSpin(7)ホロノミーの新規な構成法の開発。
• Calabi–Yau 4-軌道体上での反正則的対合が、構造群をSU(4)からSpin(7)に低下させる役割を調査すること。
• このような対合から生じる商軌道体Z = Y/⟨σ⟩を、Asymptotically Locally Euclidean (ALE) Spin(7)-多様体を用いて解消すること。
• 得られたコンパクトなSpin(7)-多様体のベッチ数、特に中間ベッチ数b⁴の計算と解析。
• 従来の既知のコンパクトSpin(7)-多様体とは区別できる、これらの新規例を特徴付ける位相的不変量の同定。

提案手法

• 孤立した特異点p₁,…,pₖをもつCalabi–Yau 4-軌道体Y（C⁴/ℤ₄またはC⁴/{±1}に局所的に同型）を出発点とする。
• 特異点を固定し、誘導されるSpin(7)-構造を保存する反正則的で等長的な対合σ: Y → Yを導入する。
• 商軌道体Z = Y/⟨σ⟩を形成し、これは孤立した特異点をもつ torsion-free Spin(7)-構造を誘導する。
• Zの特異点を、R⁸/Gに漸近するALE Spin(7)-多様体を用いて解消し、解消がSpin(7)ホロノミーを保存することを保証する。
• 解析的手法を用いて、得られたほぼ平行なSpin(7)-構造の族を、ねじれがゼロとなるものに変形し、完全なSpin(7)ホロノミーを持つ計量を得る。
• 代数的位相幾何学的手法、特にホッジ理論と解消の位相的性質を用いてベッチ数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi–Yau 4-軌道体を出発点とし、反正則的対合を用いて、Spin(7)ホロノミーを持つコンパクト8次元多様体を構成可能か？
• RQ2 商軌道体がSpin(7)ホロノミークラス内で解消可能となるために、対合および特異点に必要な条件は何か？
• RQ3 本構成法で得られる多様体のベッチ数は、トーラス商に基づく従来の構成法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 特異点がC⁴/{±1}型であるCalabi–Yau 4-軌道体は、Spin(7)設定においても、クリープント解消を許容するか？また、どのような種類の特異点がこの解消を可能にするか？
• RQ5 このような構成法における中間ベッチ数b⁴の取り得る値の範囲は何か？

主な発見

• 本構成法により、少なくとも14個の位相的に異なるSpin(7)ホロノミーを持つコンパクト8次元多様体が得られ、いずれの例も従来のトーラスに基づく構成法とは異なるベッチ数を持つ。
• ある例では中間ベッチ数b⁴が11,662に達し、従来の構成法で観察された162という上限を著しく上回る。
• 重み付き射影空間内の超曲面の族について、ベッチ数は明示的に計算可能であり、b² = 4−k、b³ = 33、b⁴ = 200+2k（k = 0,…,4）となる。
• 得られた多様体上のSpin(7)計量のモジュライ空間の次元は69+kであり、多様なホロノミー計量の豊富な族があることを示唆する。
• C⁴/{±1}型のすべての特異点が、Spin(7)ホロノミークラス内でクリープント解消を許容するわけではない。特定の接空間への対合の作用の型のみが、このような解消を可能にする。
• b⁴ = 11,662となる例は、12個の特異点をもつCalabi–Yau 4-軌道体（各特異点はC⁴/ℤ₄に局所的に同型）と、接空間に特定の作用をもつ対合から生じる。