[論文レビュー] A new kind of McKay correspondence from non-Abelian gauge theories

W. Lerche, Peter Mayr+1 more|ArXiv.org|Mar 14, 2001

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 28被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、2次元ゲージ理論の境界チラル環を用いて、非アーベルゲージ理論における一般化されたマケイ対応を提案する。小スケールの群論的構造と、カルラヤ・特異点における大スケールの導来カテゴリ構造を関連付ける。U(k)の表現と、導来カテゴリ D^b(X) を自由に生成する例外的層 {S^a_∞} の間に対応を確立し、グラスマンニアン特異点およびミューテーションから生じるクイバーゲージ理論に対して明示的な実現を行う。

ABSTRACT

The boundary chiral ring of a 2d gauged linear sigma model on a Kähler manifold $X$ classifies the topological D-brane sectors and the massless open strings between them. While it is determined at small volume by simple group theory, its continuation to generic volume provides highly non-trivial information about the $D$-branes on $X$, related to the derived category $D^\flat(X)$. We use this correspondence to elaborate on an extended notion of McKay correspondence that captures more general than orbifold singularities. As an illustration, we work out this new notion of McKay correspondence for a class of non-compact Calabi-Yau singularities related to Grassmannians.

研究の動機と目的

• 古典的マケイ対応を、オルビフォールド特異点に限らない、より一般的なカルラヤ幾何に拡張すること。
• 2次元ゲージ理論付き線形スカラー場理論の境界チラル環と、解消済みカルラヤ多様体上の連接層の導来カテゴリ D^b(X) の間の対応を確立すること。
• 特異点がオルビフォールドでない場合でさえ、トポロジカルDブレーンのセクターおよびオープンストリングインデックスが、U(k)の群表現理論によって記述されることを示すこと。
• グラスマンニアン G_{k,n} に関連する非コンパクトカルラヤ特異点に対して、クイバーゲージ理論を介して対応の明示的実現を提供すること。
• 例外的コレクションのミューテーションが、U(1)^5 × U(2)^5 などの特定のランクを持つクイバーゲージ理論を導き、交差形式に Z_5 対称性を示すこと。

提案手法

• 小スケールにおける2次元U(k)ゲージ理論付き線形スカラー場理論の境界チラル環 R_△ を用いて、トポロジカルDブレーンのセクターおよび質量ゼロのオープンストリングを分類する。
• 環 R_△ がU(k)の表現環の切断と同型であり、構造定数を介してトポロジカルインデックスを符号化することを示す。
• 小スケールのチラル環の大きなスケールへの継続を用いて、デカップリング仮説に基づき、ホロモーフィックな対象と導来カテゴリ D^b(X) 内の層双対を特定する。
• 対応は境界環の表現を、D^b(X) を自由に生成する例外的コレクション {S^a_∞} に写像し、ホモロジー H_*,c(X) 上の交差形式が群論的インデックスと一致することを示す。
• 例外的コレクションのミューテーションを用いて、U(1)^5 × U(2)^5 のようなクイバーゲージ理論を導出し、ブレーンの生成／消滅過程がスーパーポテンシャル W の臨界点のブレード構造に関連することを示す。
• 例外的除法がグラスマンニアン G_{k,n} である非コンパクトカルラヤ特異点のクラスに対して、構成をテストし、Kapranovの研究結果など既知の結果を再現できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的マケイ対応を、離散群の商に限らない、非アーベルゲージ理論および非オルビフォールド特異点へどのように一般化できるか。
• RQ2 2次元U(k)ゲージ理論における境界チラル環の表現と、解消済みカルラヤ多様体上の連接層の導来カテゴリ D^b(X) の間の正確な対応は何か。
• RQ3 小スケールにおけるトポロジカルDブレーンのセクターおよびオープンストリングインデックスは、大スケールにおける解消空間の幾何とどのように関係するか。
• RQ4 導来カテゴリ D^b(X) は、境界環の表現の層双対によって生成可能か。この文脈において交差形式の役割は何か。
• RQ5 例外的コレクションのミューテーションはどのようにクイバーゲージ理論を導き、その結果得られるブレーン内容およびゲージ群構造の物理的解釈は何か。

主な発見

• 2次元U(k)ゲージ理論付き線形スカラー場理論の境界チラル環 R_△ は、U(k)の表現環の切断と同型であり、構造定数を介してトポロジカルインデックスを符号化する。
• 小スケールのチラル環の大きなスケール極限は、D^b(X) を自由に生成する例外的層 {S^a_∞} に写像され、H_*,c(X) 上の交差形式が群論的インデックスと一致する。
• グラスマンニアン特異点 G_{k,n} の場合、対応は既知の数学的結果（Kapranovの例外的コレクションの構成など）を再現する。
• K理論におけるD0ブレーン類は [D0] = 1×∑_{a=1}^5 S^{2a−1} + 2×∑_{a=1}^5 S^{2a} と表され、これに対応するクイバーゲージ群は U(1)^5 × U(2)^5 である。
• 例外的コレクションのミューテーションにより、Z_5 対称な交差形式が得られ、成分ブレーンの数が変化する。これは、スーパーポテンシャル W の臨界点のブレード構造に伴うブレーンの生成／消滅と解釈される。
• 構成は、従来の鏡像双対性手法を避ける代わりに境界環上の代数的技法を用いて、一般化マケイ対応の物理的実現を提供する。