[論文レビュー] A Proof of the Conjecture of Lehmer and of the Conjecture of Schinzel-Zassenhaus

Jean-Louis Verger-Gaugry|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 313被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、力学的ゼータ関数、パリ上界関数、および極のポincare漸近展開を用いて、非巡回的代数的整数のメーラー測度の下界に関するレーマー予想とシニェル＝ツァッサネウスの予想を証明する。メーラー測度の連続的なレンチキュラー下界関数を確立し、メーラー測度の下限が、$ z^{31} - z^{30} - 1 $ の主根であるペロン数 $ \theta^{-1}_{31} \approx 1.08545 $ によって下から抑えられることを示し、力学的次数が増加するにつれてガロア軌道が単位円に等分布することを証明する。

ABSTRACT

The conjecture of Lehmer is proved to be true. The proof mainly relies upon: (i) the properties of the Parry Upper functions $f_{house(α)}(z)$ associated with the dynamical zeta functions $ζ_{house(α)}(z)$ of the Rényi--Parry arithmetical dynamical systems, for $α$ an algebraic integer $α$ of house "$house(α)$" greater than 1, (ii) the discovery of lenticuli of poles of $ζ_{house(α)}(z)$ which uniformly equidistribute at the limit on a limit "lenticular" arc of the unit circle, when $house(α)$ tends to $1^+$, giving rise to a continuous lenticular minorant ${ m M}_{r}(house(α))$ of the Mahler measure ${ m M}(α)$, (iii) the Poincaré asymptotic expansions of these poles and of this minorant ${ m M}_{r}(house(α))$ as a function of the dynamical degree. With the same arguments the conjecture of Schinzel-Zassenhaus is proved to be true. An inequality improving those of Dobrowolski and Voutier ones is obtained. The set of Salem numbers is shown to be bounded from below by the Perron number $θ_{31}^{-1} = 1.08545\ldots$, dominant root of the trinomial $-1 - z^{30} + z^{31}$. Whether Lehmer's number is the smallest Salem number remains open. A lower bound for the Weil height of nonzero totally real algebraic numbers, $ eq \pm 1$, is obtained (Bogomolov property). For sequences of algebraic integers of Mahler measure smaller than the smallest Pisot number, whose houses have a dynamical degree tending to infinity, the Galois orbit measures of conjugates are proved to converge towards the Haar measure on $|z|=1$ (limit equidistribution).

研究の動機と目的

• 非巡回的代数的整数のメーラー測度に対する普遍的な正の下界が存在することを証明することで、レーマーの予想を解決すること。
• 全実代数的数で $ \pm1 $ でないものに対するウェイル高さの均一な下界を導出し、シュインツェル＝ツァッサネウスの予想を確立すること。
• セイム数の集合が、$ z^{31} - z^{30} - 1 $ の主根であるペロン数 $ \theta^{-1}_{31} \approx 1.08545 $ によって下から抑えられることを示すこと。
• メーラー測度が最小のピゾ数未満の代数的整数のガロア軌道測度が、力学的次数が無限大に近づくにつれて、$ |z| = 1 $ 上のハール測度に弱収束することを示すこと。

提案手法

• 力学的次数 $ \text{dyg}(\beta) $ を、三項式 $ G_n(z) = -1 + z + z^n $ の根 $ \theta^{-1}_n $ で境界づけられた区間を介して $ \beta > 1 $ の整数関数として定義し、$ \beta \to 1^+ $ のとき増加することを示す。
• レニー・パリの力学的ゼータ関数 $ \zeta_\alpha(z) $ の極を分析し、$ \alpha \to 1^+ $ のとき単位円の極限弧に等分布するレンチキュルスの極を同定する。
• 極およびメーラー測度 $ M(\alpha) $ の下界関数 $ M_r(\alpha) $ に対してポincare漸近展開を適用し、それらを力学的次数 $ \text{dyg}(\alpha) $ の関数として表現する。
• ゼータ関数 $ \zeta_\alpha(z) $ に関連するパリ上界関数 $ f_\alpha(z) $ を用いて、$ M(\alpha) $ を一様に下から抑える連続的下界関数 $ M_r(\alpha) $ を導出する。
• 三項式 $ G_n(z) $ の根 $ z_{j,n} $ の遷移領域解析を適用し、$ \text{arg}(z) \asymp \frac{2\pi \log n}{n} $ および $ \text{arg}(z) \asymp \frac{2\pi \sqrt{=\log n \log \log n}}{n} $ を基準に複素平面を角領域に分割し、列 $ u_n, v_n $ を用いて明確な漸近的制御を実施する。
• 実数 $ \beta > 1 $ における結果を、$ |\alpha| > 1 $ である複素数 $ \alpha $ に一般化する。力学的次数を $ \text{dyg}(\alpha) := \text{dyg}(|\alpha|) $ として定義し、複素の場合を実数の場合に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回的代数的整数のメーラー測度に対して、普遍的な正の下界が存在するか？
• RQ2 セイム数の集合は正の下界を持つのか？ もし持つならば、その下界の下限は何か？
• RQ3 力学的次数が無限大に近づくにつれて、メーラー測度が小さい代数的整数の共役元のガロア軌道測度は、単位円上で等分布するか？
• RQ4 $ \alpha \to 1^+ $ のとき、レニー・パリゼータ関数 $ \zeta_\alpha(z) $ の極の漸近的挙動はどのように振る舞うか？
• RQ5 三項式 $ G_n(z) = -1 + z + z^n $ の根は、$ n \to \infty $ のとき複素平面上でどのように角方向に分布するか？

主な発見

• レーマー予想が証明され、すべての非巡回的代数的整数 $ \alpha $ に対して、$ M(\alpha) \geq 1 + c $ を満たす普遍的な下界が存在し、$ c > 0 $ は有効に計算可能である。
• シュインツェル＝ツァッサネウスの予想が証明され、非ゼロで全実かつ $ \pm1 $ でない代数的数のウェイル高さに対する新たな下界が得られ、ドゥブロヴォルスキーおよびヴォーティエの境界を改善する。
• 既知の最小のセイム数は、三項式 $ z^{31} - z^{30} - 1 $ の主根である $ \theta^{-1}_{31} \approx 1.08545 $ によって下から抑えられ、この値はセイム数集合の下限であると予想されている。
• メーラー測度が最小のピゾ数未満で、力学的次数が無限大に近づく代数的整数の系列に対して、その共役元のガロア軌道測度は、弱収束して単位円 $ |z| = 1 $ 上の正規化されたハール測度に近づく。
• メーラー測度 $ M(\alpha) $ の下界関数 $ M_r(\alpha) $ が連続的かつレンチキュラーであることが示され、$ \alpha \to 1^+ $ のとき $ \zeta_\alpha(z) $ の極が単位円の極限弧に等分布することに起因する。
• $ \beta > 1 $ で $ \beta \to 1^+ $ の近傍における力学的次数 $ \text{dyg}(\beta) $ の漸近展開が、$ \text{dyg}(\beta) = -\frac{\log(\beta - 1)}{\beta - 1} \left(1 + O\left(\left(\frac{\log(-\log(\beta - 1))}{\log(\beta - 1)}\right)^2\right)\right) $ として導出され、区間 $[\theta^{-1}_n, \theta^{-1}_{n-1})$ 内の $ \beta $ に対して明示的な次数の上限が得られる。