[論文レビュー] A remark on norm inflation with general initial data for the cubic nonlinear Schrödinger equations in negative Sobolev spaces

Tadahiro Oh|Edinburgh Research Explorer|Sep 27, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、$ d \geq 2 $ の場合、すべての $ s < 0 $ に対して、および $ d = 1 $ の場合 $ s \leq -\frac{1}{2} $ に対して、任意の初期データ $ u_0 \in H^s $ を前提として、立方非線形シュレーディンガー方程式におけるノルムの吹き上がりを確立する。フーリエ解析的手法を用い、周波数局在化とエネルギー移動推定を精緻化することで、任意に小さな初期データから出発した解が、任意に短い時間内に任意に大きなノルムへと成長することを示し、これらの空間における解写像の不連続性を示している。

ABSTRACT

In this note, we consider the ill-posedness issue for the cubic nonlinear Schrödinger equation. In particular, we prove norm inflation based at every initial condition in negative Sobolev spaces below or at the scaling critical regularity.

研究の動機と目的

• 立方非線形シュレーディンガー方程式（NLS）のスケーリング臨界正則性未満の負のソボレフ空間 $ H^s $ における非適切性を確立すること。
• ゼロ初期データに限らない、任意の初期データ $ u_0 \in H^s $ におけるノルム吹き上がり現象の拡張を通じて、非適切性の概念を強化すること。
• 指定された正則性閾値において、解写像 $ u_0 \mapsto u(t) $ が $ H^s $ 全体で不連続であることを示すこと。
• 調幅空間に依存しない、Wiener代数 $ \mathcal{F}L^1 $ を用いた高周波数から低周波数へのエネルギー移動を分析する、精緻化されたフーリエ解析的手法を提供すること。

提案手法

• 周波数局在化に基づくフーリエ解析的手法を用い、初期データ $ u_0 $ を局在化された周波数射影の和として構成することで、$ H^s $ ノルムを制御する。
• 解 $ u = \sum_{j=0}^\infty \Xi_j(u_0) $ のべき級数展開を用い、$ \Xi_j $ を次数 $ 2j+1 $ の同次多重線形項とすることで、最初の非自明な非線形相互作用を分析する。
• Iwabuchi-Ogawa [20] および Kishimoto [21] の高周波数から低周波数へのエネルギー移動法の精緻化版を、調幅空間の代わりに $ \mathcal{F}L^1 $ ノルムに適応して用いる。
• Wick順序付けられたNLSのための三重積分作用素 $ \widetilde{\mathcal{I}} $ を導入し、正規化のもとでも推定が成立することを示す。
• パラメータ $ A, R, T $ を用いた周波数エンvelope を構築し、初期データの大きさ、存在時間、解ノルムの増大をバランスさせる。
• 十分に大きな $ N = N(n) $ を選び、$ \|u_\varepsilon(0) - u_0\|_{H^s} < \varepsilon $ および $ \|u_\varepsilon(t)\|_{H^s} > \varepsilon^{-1} $ が $ t \in (0, \varepsilon) $ で成り立つことを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 立方非線形シュレーディンガー方程式の負のソボレフ空間において、ノルム吹き上がりはゼロ初期データに限らず、任意の初期データ $ u_0 \in H^s $ に対しても確立可能か？
• RQ2 $ d \geq 2 $ の場合 $ s < 0 $、$ d = 1 $ の場合 $ s \leq -\frac{1}{2} $ のとき、$ H^s $ 全体で解写像は不連続か？
• RQ3 非線形相互作用の推定に調幅空間の代わりにWiener代数 $ \mathcal{F}L^1 $ を用いる場合、高周波数から低周波数へのエネルギー移動メカニズムは有効に保たれるか？
• RQ4 周期的領域における非線形項のWick順序付けによって、ノルム吹き上がりの挙動はどのように変化するか？
• RQ5 初期摂動の小ささ、短時間スケール、ノルムの増大を同時に満たすために必要なパラメータ選択 $ A, R, T $ は何か？

主な発見

• すべての $ d \in \mathbb{N} $ に対して、$ d = 1 $ の場合 $ s \leq -\frac{1}{2} $、$ d \geq 2 $ の場合 $ s < 0 $ であれば、任意の $ u_0 \in H^s(\mathcal{M}) $ に対してノルム吹き上がりが発生する：任意の $ \varepsilon > 0 $ に対して、$ \|u_\varepsilon(0) - u_0\|_{H^s} < \varepsilon $ かつ $ \|u_\varepsilon(t)\|_{H^s} > \varepsilon^{-1} $ を満たす $ t \in (0, \varepsilon) $ が存在する。
• 解写像 $ \Phi: u_0 \mapsto u(t) $ は、指定された $ (s,d) $ に対して $ H^s(\mathcal{M}) $ 全体で不連続であり、強い非適切性を確認している。
• 結果は周期的領域 $ \mathbb{T}^d $ とユークリッド領域 $ \mathbb{R}^d $ の両方で成立し、同一のノルム吹き上がり挙動を示す。
• 証明は、調幅空間のアプローチに代えて、Wiener代数 $ \mathcal{F}L^1 $ を用いた精緻化されたフーリエ解析的手法に依存している。
• $ \mathbb{T}^d $ 上のWick順序付けNLSに対しても、同じノルム吹き上がり結果が成り立つ。これは、非線形項の変形がフーリエ変換の点ごとの有界性により、主要な推定を保持するからである。
• 初期データの大きさ、時間スケール、ノルム増大のバランスを、$ d $ と $ s $ に依存するパラメータ $ A, R, T $ の注意深い選択により達成しており、すべての推定を満たすために $ N = N(n) $ を十分に大きく選ぶ。