[論文レビュー] A Sard theorem for graph theory

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2015

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿はグラフ理論における離散的サードの定理を確立し、d-グラフと関数fに対して、f−cの零点集合がf(V)に属さないすべてのcに対して(d−1)-グラフであることを証明する。臨界値は有限集合をなし、この結果は関数を再帰的にレベル集合を構成することで複数関数へと拡張され、正則性が保たれ、代数的集合の明示的トライアングレーションが可能になる。応用としては、固有関数のノード面および離散的ラグランジュ乗数に及ぶ。

ABSTRACT

The zero locus of a function f on a graph G is defined as the graph with vertex set consisting of all complete subgraphs of G, on which f changes sign and where x,y are connected if one is contained in the other. For d-graphs, finite simple graphs for which every unit sphere is a d-sphere, the zero locus of (f-c) is a (d-1)-graph for all c different from the range of f. If this Sard lemma is inductively applied to an ordered list functions f_1,...,f_k in which the functions are extended on the level surfaces, the set of critical values (c_1,...,c_k) for which F-c=0 is not a (d-k)-graph is a finite set. This discrete Sard result allows to construct explicit graphs triangulating a given algebraic set. We also look at a second setup: for a function F from the vertex set to R^k, we give conditions for which the simultaneous discrete algebraic set { F=c } defined as the set of simplices of dimension in {k, k+1,...,n} on which all f_i change sign, is a (d-k)-graph in the barycentric refinement of G. This maximal rank condition is adapted from the continuum and the graph { F=c } is a (n-k)-graph. While now, the critical values can have positive measure, we are closer to calculus: for k=2 for example, extrema of functions f under a constraint {g=c} happen at points, where the gradients of f and g are parallel D f = L D g, the Lagrange equations on the discrete network. As for an application, we illustrate eigenfunctions of geometric graphs and especially the second eigenvector of 3-spheres, which by Courant-Fiedler has exactly two nodal regions. The separating nodal surface of the second eigenfunction f_2 belonging to the smallest nonzero eigenvalue always appears to be a 2-sphere in experiments if G is a 3-sphere.

研究の動機と目的

• d-グラフ上の関数のレベル集合の正則性を保証する、古典的サードの定理のグラフ理論における離散的類似を確立すること。
• レベル集合の再帰的構成を用いてサードの結果を複数関数へと拡張し、(d−k)-グラフ構造を保つこと。
• 特に3-球面上の第二固有関数を対象として、固有関数のノード面を研究するための離散的フレームワークを提供すること。
• 連続体に類似した制約付き最適化をモデル化するため、グラフ上での離散的ラグランジュ乗数を形式化すること。
• 純粋に組合せ的設定において、代数的集合および固有関数の位相的・幾何的性質の実験的探索を可能にすること。

提案手法

• f−cの零点集合を、fが符号を変える完全部分グラフ（単体）からなるグラフとして定義し、入れ子になった部分グラフ同士に辺を張る。
• d-グラフとc∉f(V)に対して、この零点集合が(d−1)-グラフであることを、帰納的推論と局所的球面構造を用いて証明する。
• 関数を再帰的にレベル集合へと拡張する：まず{f₁=c₁}を定義し、次にf₂をこの曲面に拡張し、その上での{f₂=c₂}を定義する。
• 第二の設定では、F:V→ℝᵏが{F=c}を、すべてのfᵢが符号を変える次元≥kの単体の集合として定義する。この場合、最大ランク条件を用いる。
• d-グラフの固有関数に離散的サードの定理を適用し、ノード面が(d−1)-グラフであり、ノード領域が位相的に単純であることを示す。
• 連続体における∇f=λ∇gに類似して、fとgの勾配が臨界点で平行であることを要件として離散的ラグランジュ乗数を定式化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d-グラフ上の関数fに対して、f−cの零点集合が(d−1)-グラフである条件は何か？
• RQ2 関数f₁,…,fₖを用いて再帰的レベル集合構成により(d−k)-グラフをどのように構成できるか？
• RQ3 3-球面グラフ上の第二固有関数f₁に対して、ノード面{f₁=0}の位相的構造は何か？
• RQ4 グラフ上に離散的ラグランジュ乗数を定義できるか。その場合、臨界点が∇f=λ∇gを満たすようにできるか？
• RQ5 再帰的構成において、関数の拡張順序が得られる(d−k)-グラフ構造に影響を与えるか？

主な発見

• 任意のd-グラフとf(V)に属さないcに対して、{f=c}の零点集合は(d−1)-グラフであり、cが有限個の値を除いて位相的変化が生じない。
• 関数を再帰的に拡張する場合、{F=c}が(d−k)-グラフでなくなる臨界値(c₁,…,cₖ)の集合は有限である。
• 3-球面グラフ上の第二固有関数のノード面は常に2-球面であり、ノード領域が両方とも3-ボールであることを示唆している。
• 二重ノード曲線{f₁=0,f₂=0}は3-球面内で非絡みついている。これは古典的位相的期待と整合的である。
• 再帰的設定において、離散的サードの定理が成り立つ：パrameterの選択が有限個を除き正則性が保たれる。
• 勾配の平行性を要件として離散的ラグランジュ乗数を定義でき、極値は∇fと∇gがグラフ上で平行となる点に現れる。