[論文レビュー] The Jordan-Brouwer theorem for graphs

Oliver Knill|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

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ひとこと要約

この論文は、グラフ理論におけるジョルダン＝ブロウアー＝シューケンゾールス定理の離散的類似を確立し、d-球グラフに埋め込まれた(d−1)-球がそれを二つの補間的d-ボールに分割することを証明する。エバコの可縮性および球・ボールの概念に基づく帰納的グラフ定義を用い、ホモトピー変形と交差数の議論を駆使して、補間成分が可縮性を持つd-ボールであることを示し、古典的位相幾何学を有限グラフへと拡張する。

ABSTRACT

We prove a discrete Jordan-Brouwer-Schoenflies separation theorem telling that a (d-1)-sphere H embedded in a d-sphere G defines two different connected graphs A,B in G such a way that the intersection of A and B is H and the union is G and such that the complementary graphs A,B are both d-balls. The graph theoretic definitions are due to Evako: the unit sphere of a vertex x of a graph G=(V,E) is the graph generated by {y | (x,y) in E} Inductively, a finite simple graph is called contractible if there is a vertex x such that both its unit sphere S(x) as well as the graph generated by V-{x} are contractible. Inductively, still following Evako, a d-sphere is a finite simple graph for which every unit sphere is a (d-1)-sphere and such that removing a single vertex renders the graph contractible. A d-ball B is a contractible graph for which each unit sphere S(x) is either a (d-1)-sphere in which case x is called an interior point, or S(x) is a (d-1)-ball in which case x is called a boundary point and such that the set of boundary point vertices generates a (d-1)-sphere. These inductive definitions are based on the assumption that the empty graph is the unique (-1)-sphere and that the one-point graph K_1 is the unique 0-ball and that K_1 is contractible. The theorem needs the following notion of embedding: a sphere H is embedded in a graph G if it is a sub-graph of G and if any intersection with any finite set of mutually adjacent unit spheres is a sphere. A knot of co-dimension k in G is a (d-k)-sphere H embedded in a d-sphere G.

研究の動機と目的

• 離散的位相的定義を用いて、有限単純グラフにおける古典的ジョルダン＝ブロウアー＝シューケンゾールス定理を拡張すること。
• エバコのフレームワークに従い、可縮性および単位球条件を用いて、グラフにおける球およびボールを帰納的に定義すること。
• d-球グラフに埋め込まれた(d−1)-球が、グラフを二つの補間的d-ボールに分割することを確立すること。
• ホモトピー変形および離散的設定における交差数の議論を用いた構成的証明を提供すること。
• 連続的変形の下でも、補間成分が埋め込み構造を保ちながらd-ボールの性質を維持することを示すこと。

提案手法

• エバコの帰納的定義を用いる：d-球とは、すべての単位球が(d−1)-球であり、ある頂点を除くと可縮性を持つグラフである。
• d-ボールを、可縮性を持つグラフとして定義し、境界頂点が(d−1)-球を形成し、内部頂点の単位球が(d−1)-球であるとする。
• Hが任意の隣接単位球集合との交わりが球であるという埋め込みの概念を採用し、位相的正規性を保証する。
• ホモトピー変形ステップH → H Δ xを適用し、Hをd-単体xと対称的に異なるものに置き換えることで、一方の成分内の頂点数を減少させる。
• 交差数の議論を用いる：AとBが接続されていると仮定すると、Hと奇数回交わる閉路が存在し、交差補題に反する。
• χ(A) + χ(B) = 2 および χ(G) = 1 + (−1)^d、χ(H) = 1 − (−1)^d であるという事実に依存し、位相的一致性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ジョルダン＝ブロウアー＝シューケンゾールス定理を、離散的位相の文脈において再定式化し、有限単純グラフ上で証明可能か？
• RQ2 d-球グラフに埋め込まれた(d−1)-球が、グラフを二つの補間的成分に分割するための条件は何か？その成分が両方ともd-ボールであると保証されるか？
• RQ3 ホモトピー変形が、離散的グラフにおける球の埋め込みおよび位相的構造をどのように維持するか？
• RQ4 閉路と埋め込み球との交差数が、分離性および連結性の証明において果たす役割は何か？
• RQ5 球に囲まれた成分の構造を、d-ボールの性質を保ちつつ単体にまで簡略化することは可能か？

主な発見

• (d−1)-球Hがd-球Gに埋め込まれると、Gは二つの補間的成分AとBに分割され、A ∪ B = G かつ A ∩ B = H を満たす。
• 成分AとBは両方ともd-ボールである。つまり、可縮性を持つグラフであり、境界が(d−1)-球である。
• 証明は、H → H Δ xという変形プロセスを用い、一方の成分内の頂点数を減少させ、最終的にHを単体にまで縮小することで、成分がd-ボールであることを示す。
• 交差数の議論により、AとBが非連結でなければ、Hと奇数回交わる閉路が存在し、これは交差補題に反する。
• Hの補集合に頂点が存在しない場合でも、変形プロセスが埋め込みおよび位相的構造を保つ限り、この結果は成り立つ。
• Gがd-球でなくても、単連結であればこの定理は成立するが、完全な結果を得るためにはGがd-球である必要がある。