[論文レビュー] A story of diameter, radius and Helly property

Feodor F. Dragan, Guillaume Ducoffe|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 42被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ヘリィ性と単峰性の逓度関数を活用して、$\tilde{O}(m\tilde{n})$ 時間計算量を達成する、ヘリィグラフおよび関連クラスの直径と半径を計算する効率的なアルゴリズムを提示する。$C_4$-フリーなヘリィグラフに対して線形時間アルゴリズムを導入し、弦的グラフから分割グラフへの還元を提示することで、VC次元が有界な弦的グラフにおける真正のサブクアドレティックな直径計算を可能にし、エラーが1未満の加法的近似に関する未解決の問題に答えを提示する。

ABSTRACT

A graph is Helly if every family of pairwise intersecting balls has a nonempty common intersection. Motivated by previous work on dually chordal graphs and graphs of bounded distance VC-dimension we prove several new results on the complexity of computing the diameter and the radius on Helly graphs and related graph classes. * First, we present algorithms which given an $n$-vertex $m$-edge Helly graph $G$ as input, compute w.h.p. its radius and its diameter in time $ ilde{\cal O}(m\sqrt{n})$. Our algorithms are based on the Helly property and on several implications of the unimodality of the eccentricity function in Helly graphs: every vertex of locally minimum eccentricity is a central vertex. * Then, we focus on $C_4$-free Helly graphs, which include, amongst other subclasses, bridged Helly graphs and so, chordal Helly graphs and hereditary Helly graphs. For the $C_4$-free Helly graphs, we present linear-time algorithms for computing the eccentricity of all vertices. Doing so, we generalize previous results on strongly chordal graphs to a much larger subclass. * Finally, we derive from our findings on chordal Helly graphs a more general one-to-many reduction from diameter computation on chordal graphs to either diameter computation on split graphs or the {\sc Disjoint Set} problem. Therefore, split graphs are in some sense the {\em only} hard instances for diameter computation on chordal graphs. As a byproduct of our reduction the eccentricity of all vertices in a chordal graph can be approximated in ${\cal O}(m\log{n})$ time with an additive one-sided error of at most one, and on any subclass of chordal graphs with constant VC-dimension the diameter can be computed in truly subquadratic time. These above results are a new step toward better understanding the role of abstract geometric properties in the fast computation of metric graph invariants.

研究の動機と目的

• 真正のサブクアドレティック時間で直径と半径が計算可能なグラフクラスを同定し、SETHおよびヒッティングセット予想の硬さを克服すること。
• 双対弦的およびVC次元が有界なグラフに関する既知の結果を、特にヘリィグラフを含むより広いクラスへと拡張すること。
• 弦的グラフにおける逓度関数の加法的$+1$-近似に関する未解決問題を解決すること。
• 弦的グラフの直径計算を分割グラフまたは素集合に還元し、分割グラフが核心的な難易度を持つことを特定すること。
• 提案された還元を用いて、VC次元が有界な弦的グラフにおいて真正のサブクアドレティックな直径計算が可能であることを示すこと。

提案手法

• ヘリィ性を活用：任意のペアワイズに交差するボールの族は共通の交点を持つ。これにより、逓度関数と中心性に関する構造的保証が得られる。
• ヘリィグラフにおける逓度関数の単峰性を活用：局所的最小逓度を持つ頂点は中心的である。これにより、効率的な探索が可能となる。
• 弦的グラフのクリークツリーを用いた重心に基づく再帰的分解を適用し、加法的誤差が1未満の逓度関数の近似を計算する。
• 再帰的部分グラフ分解とゲート計算を用いて、弦的グラフにおける直径計算を分割グラフまたは素集合における直径計算に還元する。
• Sauer-Shelah-Perlesの補題を用いて、還元によって生成される分割グラフの部分インスタンスのVC次元を有界化し、サブクアドレティック時間での解法を保証する。
• 各$O(\log n)$の再帰レベルで$O(w(T))$時間で処理を行う総時間解析を組み合わせ、近似計算に$O(m \log n)$の総時間を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘリィグラフの直径と半径は、真正のサブクアドレティック時間で計算可能か？
• RQ2 $C_4$-フリーなヘリィグラフに対して線形時間アルゴリズムを設計可能か？これは強弦的グラフからの結果の一般化である。
• RQ3 弦的グラフの直径計算を分割グラフまたは素集合に還元できるか？また、後者が核心的な難易度を持つと特定できるか？
• RQ4 弦的グラフのすべての頂点の逓度関数を$O(m \log n)$時間で加法的誤差1未満で近似可能か？
• RQ5 提案された枠組みにより、VC次元が有界な弦的グラフにおいて真正のサブクアドレティックな直径計算が可能か？

主な発見

• 高確率で$\tilde{O}(m\sqrt{n})$時間で、任意の$n$頂点$m$辺のヘリィグラフの直径と半径が計算可能であり、ヘリィ性と単峰性の逓度関数を活用している。
• $C_4$-フリーなヘリィグラフにおいて、すべての逓度関数が線形時間で計算可能であり、強弦的グラフからの先行結果を一般化している。
• 弦的グラフの直径計算から分割グラフまたは素集合への1対多の還元が確立され、分割グラフが弦的グラフの直径計算において唯一の難易度の高いインスタンスであることが示された。
• 弦的グラフのすべての頂点の逓度関数は、加法的誤差が1未満で$O(m \log n)$時間で近似可能であり、Drinan (IPL 2019) が提起した未解決問題を解決した。
• 任意のVC次元が$d$未満の弦的グラフに対して、直径は$O(mn^{1-\eta_d})$時間で計算可能（$\eta_d > 0$）であり、有界VC次元クラスでは真正のサブクアドレティック時間で計算可能であることを示唆する。
• 還元によって生成されるすべての分割グラフの部分インスタンスのVC次元は$O(d \log d)$で有界であり、既知の結果によりサブクアドレティック時間での解法が保証される。