[論文レビュー] A thermodynamical formalism for Monge-Ampere equations, Moser-Trudinger inequalities and Kahler-Einstein metrics

Robert J. Berman|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 62被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、確率測度上の自由エネルギー関数 functional に対する変分法を展開することで、Kähler多様体上の複素 Monge-Ampère 方程式に対する熱力学的形式主義を導入する。これは Mabuchi の K-エネルギーと Ding の関数 functional の一般化である。ねじれ Kähler-Einstein 計量の存在結果と Moser-Trudinger 不等式を確立し、反 canonical 除援に沿って特異的となる Kähler-Einstein 計量の存在を示し（Donaldson の予想を確認）、特定の条件下で Calabi 流の収束を示している。

ABSTRACT

We develop a variational calculus for a certain free energy functional on the space of all probability measures on a Kahler manifold X. This functional can be seen as a generalization of Mabuchi's K-energy functional and its twisted versions to more singular situations. Applications to Monge-Ampère equations of mean field type, twisted Kahler-Einstein metrics and Moser-Trudinger type inequalities on Kahler manifolds are given. Tian's α- invariant is generalized to singular measures, allowing i particular the construction of Kahler-Einstein metrics with positive Ricci curvature that are singular along a given anti-canonical divisor (as proposed in a very recent program of Donaldson). As another application we show that if the Calabi flow in the (anti-) canonical class exits for all times then it converges to a Kahler-Einstein metric, when one exists. Applications to the probabilistic/statistical mechanical approach to the construction of Kahler-Einstein metrics, very recently introduced by the author, will appear elsewhere.

研究の動機と目的

• Kähler多様体上の確率測度上の自由エネルギー関数 functional に対する変分法を構築し、Mabuchi の K-エネルギーと Ding の関数 functional を一般化すること。
• 平均場型 Monge-Ampère 方程式およびねじれ Kähler-Einstein 計量の解の存在結果を確立すること。
• Tian の α-不変量を特異測度へ一般化し、反 canonical 除援に沿って特異的となる Kähler-Einstein 計量の構成を可能にすること。
• 一意に存在する Kähler-Einstein 計量に対して、Calabi 流が収束することを示すこと。
• Legendre 対称性と凸解析を用いて、Kähler多様体上での Moser-Trudinger 型不等式の変分的枠組みを提供すること。

提案手法

• Kähler多様体 $ X $ 上の確率測度 $ \nu $ の空間上に自由エネルギー関数 functional $ F(\nu) $ を定義し、Monge-Ampère 方程式 $ \frac{(\omega + dd^c u)^n}{Vn!} = \frac{e^{\beta u} \mu_0}{\int_X e^{\beta u} \mu_0} $ と関連付ける。
• Legendre 対称性を用いて、$ F(\nu) $ を $ \omega $-擬上膜関数 $ u $ 上の関数 functional $ \mathcal{G}(u) $ と関連付け、Ding 関数 functional の一般化を行う。
• 特異測度 $ \mu $ に対して一般化された $ \alpha $-不変量 $ \alpha(L, \mu) $ を、すべての $ \psi \in \text{PSH}(X, \omega) $ に対して $ \int_X e^{-t \psi} \, d\mu < \infty $ を満たすような $ t $ の上限として定義する。
• $ \bar{\partial} $ の $ L^2 $-推定とラインバンドルの切断上の対数ノルムを用いて、特異重み $ \psi = \frac{1}{m} \log |s_m|^2 $ 上での $ I_t $-関数 functional の有限性を特徴付ける。
• 凹性と Hölder の不等式を用いて、$ \alpha^*(L, \mu) $ が $ \lambda $ に関して凹であること、したがって $ \alpha(L, \mu) $ の定義における $ \psi $ に関する下界をとる操作が可能であることを示す。
• $ \mu = \mu_\Delta $ が klt 除援 $ \Delta $ に対応する場合、$ \alpha(L, \mu) = \inf_{D_m} \text{lct}_X(X, D_m + \Delta) $ が成り立つことを証明し、不変量と対数正則性閾値を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率測度上の変分法を用いて、Kähler-Einstein 幾何学に対する熱力学的形式主義を構築できるか？
• RQ2 自由エネルギー関数 functional を用いて、Mabuchi の K-エネルギーと Ding の関数 functional を特異的状況に一般化できるか？
• RQ3 一般化された $ \alpha $-不変量 $ \alpha(L, \mu) $ は、所定の特異性を持つ Kähler-Einstein 計量の存在にどのような役割を果たすか？
• RQ4 一意に存在する Kähler-Einstein 計量に対して、Calabi 流が収束するか？そして、変分法によってこれを証明できるか？
• RQ5 Kähler多様体上での Moser-Trudinger 型不等式は、熱力学的および凸解析的枠組みから導けるか？

主な発見

• klt 除援 $ \Delta $ に対応する測度 $ \mu_\Delta $ に対して、一般化された $ \alpha $-不変量 $ \alpha(L, \mu_\Delta) $ は $ \alpha(L, \mu_\Delta) = \inf_{D_m} \text{lct}_X(X, D_m + \Delta) $ を満たし、対数正則性閾値と結びつくことが示された。
• 与えられた反 canonical 除援に沿って特異的となる正のリッチ曲率を持つ Kähler-Einstein 計量の存在が確立され、Donaldson の予想が確認された。
• Calabi 流が (反) canonical 類に属する場合、一意に存在する Kähler-Einstein 計量が存在する限り、すべての時間にわたって流が存在するという仮定の下で、それが Kähler-Einstein 計量に収束することが示された。
• 有限エントロピーおよび有限擬複素エネルギーを持つ測度に対して、自由エネルギー関数 functional $ F(\nu) $ が有限であることが示され、特異的状況下での凸解析の応用が可能になった。
• すべての $ \psi \in \text{PSH}(X, \omega) $ に対して $ I_t(\psi) $ が有限であるための必要十分条件は、すべての $ \psi = \frac{1}{m} \log |s_m|^2 $ に対して有限であることである。これにより、有限性条件をラインバンドルの切断に還元できた。
• $ \alpha^*(L, \mu) $ が $ \lambda $ に関して凹であることから、$ \alpha(L, \mu) $ の定義における $ \psi $ に関する下界をとる操作が可能となり、摂動に対して安定することが保証された。