[論文レビュー] A universal formula for the entanglement asymmetry of matrix product states

Luca Capizzi, Vittorio Vitale|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2023

Quantum Information and CryptographyComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、熱力学的極限における有限結合次元の行列積状態（MPS）の量子もつれ非対称性について普遍的な公式を確立し、Rényi エンタングルメント非対称性が微視的詳細とは無関係に、対称性の破れのパターン $G \to H$ のみに依存することを示している。離散群の場合、$\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$ であり、コンパクトなリー群の場合、$\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$ である。XXZスピンチェーンにおけるiDMRGシミュレーションにより、数値的に確認された。

ABSTRACT

Symmetry breaking is a fundamental concept in understanding quantum phases of matter, studied so far mostly through the lens of local order parameters. Recently, a new entanglement-based probe of symmetry breaking has been introduced under the name of extit{entanglement asymmetry}, which has been employed to investigate the mechanism of dynamical symmetry restoration. Here, we provide a universal formula for the entanglement asymmetry of matrix product states with finite bond dimension, valid in the large volume limit. We show that the entanglement asymmetry of any compact -- discrete or continuous -- group depends only on the symmetry breaking pattern, and is not related to any other microscopic features.

研究の動機と目的

• 有限結合次元の行列積状態（MPS）が熱力学的極限に達する際のもつれ非対称性に関する普遍的公式を確立すること。
• Rényi エンタングルメント非対称性が、状態の微視的詳細とは無関係に、対称性の破れのパターン $G \to H$ のみに依存することを証明すること。
• 有限群に対する以前の予想された公式を、$U(1)$ のような連続的対称性を含むコンパクトなリー群へと拡張すること。
• XXZスピンチェーンにおける無限大DMRG（iDMRG）を用いた数値的シミュレーションにより、理論的予測を検証すること。

提案手法

• 群作用を用いて、元の縮約密度行列 $\rho_A$ とその対称化版 $\tilde{\rho}_A$ の間のRényiエントロピー差としてもつれ非対称性を定義する。
• コンパクトなリー群に対してはハア測度を用い、群平均を用いて $\tilde{\rho}_A$ を構築し、$G$-不変性を保証する。
• 群のキャラクター理論と局所的MPSテンソルのスペクトル的性質を用いて、荷電モーメント $\text{Tr}(\tilde{\rho}_A^n)$ を導出する。
• 大体積極限において、有限群では $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$、コンパクトなリー群では $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$ を証明する。
• iDMRGを用いた数値的シミュレーションにより、$\Delta > 1$ の反強磁性的なXXZモデルの基底状態におけるRényi-2もつれ非対称性を計算し、予測された漸近的値と一致することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列積状態における大きな部分系のもつれ非対称性は、微視的詳細とは無関係に、対称性の破れのパターン $G \to H$ のみに依存するか？
• RQ2 有限群に対する予想された普遍的公式 $\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$ が、熱力学的極限において厳密に証明可能か？
• RQ3 連続的コンパクトなリー群では、もつれ非対称性はどのようにスケーリングするか？また、リー代数 $\mathfrak{g}$ と $\mathfrak{h}$ の次元を含む普遍的形式に従うか？
• RQ4 予測された普遍的スケーリングは、XXZモデルのような現実の量子スピンチェーンにおいて数値的に観測可能か？
• RQ5 臨界系や境界由来の対称性の破れの存在下では、もつれ非対称性はどのように変化するか？

主な発見

• 有限群の場合、行列積状態における大きな部分系のRényiもつれ非対称性は、対称性の破れのパターン $G \to H$ のみに依存し、$\Delta S_n \simeq \log(|G|/|H|)$ で与えられる。
• コンパクトなリー群の場合、もつれ非対称性は $\Delta S_n \simeq \frac{1}{2}(\dim\mathfrak{g} - \dim\mathfrak{h})\log|A|$ に比例してスケーリングし、普遍的スケーリング行動を確認した。
• XXZモデルにおける$\Delta > 1$ の場合の数値的シミュレーションでは、$\Delta S_2$ が $\log 2$ に収束しており、$|G|=4$, $|H|=2$ の場合の予測値 $\log(|G|/|H|) = \log 2$ と一致し、物理的モデルにおける公式の妥当性を裏付けた。
• 臨界点 $\Delta = 1$ に近づくと収束が遅くなるが、これは相関長の発散と動的対称性回復に起因するとされる。
• 有限結合次元の並進不変MPSに対して本結果は頑健であり、グローバルクェイズ動的および可解場理論の基底状態における先行観測結果とも整合する。