[論文レビュー] On the skew-symmetric character of the couple-stress tensor

Ali R. Hadjesfandiari|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Mechanical stress and fatigue analysis参考文献 6被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、テンソル解析を通じて、カップル応力テンソルが本質的に反対称的であることを確立し、等方的カップル応力テンソルが存在し得ないことを証明する。その結果、カップル応力擬テンソルは真のベクトル的性質を示し、微小極性材料の連続体力学における長年の曖昧さが解消される。

ABSTRACT

In this paper, the skew-symmetric character of the couple-stress tensor is established as the result of arguments from tensor analysis. Consequently, the couple-stress pseudo-tensor has a true vectorial character. The fundamental step in this development is that the isotropic couple-stress tensor cannot exist.

研究の動機と目的

• カップル応力テンソルが対称的であるか、あるいは本質的に反対称的でなければならないという根本的問題を解決すること。
• 微小極性弾性におけるカップル応力テンソルの性質の数学的および物理的根拠を明確にすること。
• 標準的なテンソル解析の下で、等方的カップル応力テンソルが数学的に不可能であることを示すこと。
• 厳密なテンソル理論的議論を通じて、カップル応力擬テンソルのベクトル的性質を確立すること。
• カップル応力テンソルの対称的表現に関する文献における誤解を是正すること。

提案手法

• カップル応力テンソルの対称性の性質を導出するためのテンソル解析の応用。
• 直交変換におけるテンソルの挙動を分析するための添字表記および変換則の使用。
• 等方的カップル応力テンソルが不適切な回転におけるテンソル変換則を破るという背理法による証明。
• 回転不変性とテンソル的一致性の要請から反対称的性質を導出すること。
• 不適切な回転における変換挙動に基づいて、真のテンソルと擬テンソルを区別すること。
• 適切な変換におけるカップル応力擬テンソルを真のベクトルとして形式化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カップル応力テンソルが等方的である可能性はあるか、その場合、どのような条件下で成立するか？
• RQ2 微小極性連続体力学におけるカップル応力テンソルの真の対称性は何か？
• RQ3 テンソル的起源を持つにもかかわらず、なぜカップル応力擬テンソルは真のベクトルとして振る舞うのか？
• RQ4 カップル応力テンソルの反対称的性質が角運動量の保存に与える影響は何か？
• RQ5 等方的カップル応力テンソルの非存在が、微小極性材料モデルに与える影響は何か？

主な発見

• カップル応力テンソルは、直交変換における変換性質から、本質的に反対称的であり、対称的ではない。
• 不適切な回転におけるテンソル変換則に反するため、等方的カップル応力テンソルは存在し得ない。
• カップル応力擬テンソルは真のベクトル的性質を有しており、適切な回転においてベクトルとして変換される。
• 反対称的性質により、微小極性連続体における角運動量保存則と整合的であることが保証される。
• 文献におけるカップル応力テンソルの対称性に関する長年の不整合が解消される。
• 解析により、カップル応力テンソルは物理的に整合的なすべての定式化において、反対称な第二階テンソルとして表現されなければならないことが確認される。