[論文レビュー] Affine quiver Schur algebras and $p$-adic $GL_n$

Vanessa Miemietz, Catharina Stroppel|UEA Digital Repository (University of East Anglia)|Jan 27, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$p$-進 $ {GL}_n$ の完成化されたアフィンシュール代数と、サイクリックなクイバーに付随するクイバーシュール代数の明示的な同型を確立し、隠れた次数構造と幾何的構造を明らかにする。この同型は、クイバー旗多様体上の畳み込み代数を用いて構成され、ユニポテンツブロックの最低層の幾何的実現を提供し、KLR代数フレームワークに適合する基底を代数に与える。この同型は、$ {GL}_2(\mathbb{Q}_5)$、$ {\ell}=3$ の場合に検証されている。

ABSTRACT

In this paper we consider the (affine) Schur algebra introduced by Vignéras as the endomorphism algebra of certain permutation modules for the Iwahori-Matsumoto Hecke algebra. This algebra describes, for a general linear group over a $p$-adic field, a large part of the unipotent block over fields of characteristic different from $p$. We show that this Schur algebra is, after a suitable completion, isomorphic to the quiver Schur algebra attached to the cyclic quiver. The isomorphism is explicit, but nontrivial. As a consequence, the completed (affine) Schur algebra inherits a grading. As a byproduct we obtain a detailed description of the algebra with a basis adapted to the geometric basis of quiver Schur algebras. We illustrate the grading in the explicit example of $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ in characteristic $3$

研究の動機と目的

• $p$-進 $ {GL}_n$ の表現論において、標数 $\r{\ell} \neq p$ の体上でのユニポテンツブロックの最低層の幾何的実現を提供すること。
• Iwahori-Matsumotoヘッケ代数上の置換モジュールの自己準同型代数として生じる完成化されたアフィンシュール代数が、サイクリックなクイバーに付随するクイバーシュール代数と同型であることを示すこと。
• 完成化されたアフィンシュール代数に、クイバーシュール代数の幾何的基底に適合する次数構造と基底を与えること。
• クイバー・リーベ代数と同調的コホホロジーを用いて、ホール代数のカテゴリフィケーションを $p$-進設定に拡張すること。

提案手法

• Iwahori-Matsumotoヘッケ代数 $H = k[I\backslash G/I]$ 上の置換モジュールの直和の自己準同型環としてアフィンシュール代数 $S$ を構成する。
• 自明表現に付随する中心的特徴の生成するイデアルに関して $S$ を完成化し、$\r{\widehat{S}}$ を得る。
• サイクリッククイバーのフラッグ付きの冪零表現に関連するスタインベルク型多様体 $Z(\r{\hat{\lambda}}, \r{\hat{\mu}})$ の $\r{GL}_d(\mathbb{C})$-同調的ボレル＝モーアホモロジーの直和としてクイバーシュール代数 $A_d$ を実現する。
• これらの多様体の幾何的性質を用いて、$A_d$ 上に畳み込み積を定義し、KLR代数の構造を模倣する。
• 忠実な表現と中心的元を一致させることで、$\r{\r{\widehat{S}}}$ と完成化されたクイバーシュール代数 $\r{\r{\widehat{A}}}_d$ 間の明示的な代数同型を確立する。
• 特殊ケース $\r{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ において同型を検証し、Ext-クイバーと関係式が整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $p$-進 $ {GL}_n$ の完成化されたアフィンシュール代数は、サイクリックなクイバーから生じるクイバーシュール代数と同型であるか？
• RQ2 アフィンシュール代数は、クイバーシュール代数の構造から次数を引き継げるか？
• RQ3 クイバー旗多様体と同調的コホホロジーの幾何的構造は、$p$-進 $ {GL}_n$ の表現論とどのように関係するか？
• RQ4 $\r{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$、$\r{\ell}=3$ の例において、ユニポテンツブロックのExt-クイバーとクイバー・リーベ代数の関係式の正確な関係は何か？
• RQ5 同型は、ヘッケ代数が拡張されたアフィンワイル群の群代数に退化する $q=1$ の退化ケースに拡張可能か？

主な発見

• $\r{\r{\widehat{S}}}$ は、$q$ を $\r{\ell}$ で割った剰余の位数 $e$ を持つサイクリッククイバーに付随する完成化されたクイバーシュール代数 $\r{\r{\widehat{A}}}_d$ と同型である。
• この同型により、$\r{\r{\widehat{S}}}$ は、畳み込み代数構造を介してクイバーシュール代数の次数から引き継がれる自然な $\mathbb{Z}$-次数構造を備える。
• $\r{\r{\widehat{S}}}$ は、スタインベルク型多様体 $Z(\r{\hat{\lambda}}, \r{\hat{\mu}})$ の同調的ボレル＝モーアホモロジーから生じる、クイバーシュール代数の幾何的基底に適合する基底を備える。
• $\r{GL}_2(\mathbb{Q}_5)$ の標数 3 の場合、ユニポテンツブロックのExt-クイバーが明示的に計算され、クイバー・リーベ代数の関係式と一致する。中心的元 $z = x_{1,1} + x_{2,1}$ は、提示された関係式を満たす。
• $q=1$ の退化ケースでは、同型は $\r{\r{\widehat{S}}}_{q=1} \cong \r{\r{\widehat{A}}}_n$ に拡張され、クイバー・リーベ代数 $R_n$ は $\r{\r{\widehat{S}}}_{q=1}$ の部分代数として同定され、$C[[x_1, \dots, x_n]]$ 上に忠実な表現が構成される。