[論文レビュー] Algorithmic Applications of Baur-Strassen's Theorem: Shortest Cycles, Diameter and Matchings

Marek Cygan, Harold N. Gabow+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 29被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、Baur-Strassenの定理とStrojohannの行列式アルゴリズムを活用する一般化されたアルゴリズムフレームワークを提示する。このフレームワークにより、整数辺重みが$[-W, W]$に属し、負のサイクルを含まないグラフにおける最短サイクル、直径、半径、最小重み完全マッチング問題をすべて$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で解ける。これは、負の重みを許容する無向グラフに対して、最短サイクルや完全マッチング問題のための初めての効率的解法を提供し、一般グラフにおける最小重み完全マッチング問題のオープンな問題を解決する。

ABSTRACT

Consider a directed or an undirected graph with integral edge weights from the set [-W, W], that does not contain negative weight cycles. In this paper, we introduce a general framework for solving problems on such graphs using matrix multiplication. The framework is based on the usage of Baur-Strassen's theorem and of Strojohann's determinant algorithm. It allows us to give new and simple solutions to the following problems: * Finding Shortest Cycles -- We give a simple ilde{O}(Wn^ω) time algorithm for finding shortest cycles in undirected and directed graphs. For directed graphs (and undirected graphs with non-negative weights) this matches the time bounds obtained in 2011 by Roditty and Vassilevska-Williams. On the other hand, no algorithm working in ilde{O}(Wn^ω) time was previously known for undirected graphs with negative weights. Furthermore our algorithm for a given directed or undirected graph detects whether it contains a negative weight cycle within the same running time. * Computing Diameter and Radius -- We give a simple ilde{O}(Wn^ω) time algorithm for computing a diameter and radius of an undirected or directed graphs. To the best of our knowledge no algorithm with this running time was known for undirected graphs with negative weights. * Finding Minimum Weight Perfect Matchings -- We present an ilde{O}(Wn^ω) time algorithm for finding minimum weight perfect matchings in undirected graphs. This resolves an open problem posted by Sankowski in 2006, who presented such an algorithm but only in the case of bipartite graphs. In order to solve minimum weight perfect matching problem we develop a novel combinatorial interpretation of the dual solution which sheds new light on this problem. Such a combinatorial interpretation was not know previously, and is of independent interest.

研究の動機と目的

• 行列乗算に基づく統一的で代数的なフレームワークを構築し、重み付きグラフにおける基本的な最短経路およびマッチング問題を解くこと。
• 負の辺重みを許容する無向グラフにおける最短サイクルおよび完全マッチング問題に対する効率的アルゴリズムの欠如を解決すること。
• Sankowski（2006）が提起した、一般無向グラフにおける最小重み完全マッチングの計算というオープンな問題を解消すること。
• 従来非負の重みに限られていた手法を拡張し、負の重みをもつグラフにおける直径および半径の計算を可能とすること。

提案手法

• Baur-Strassenの定理を用いて、多項式行列の行列式の部分導関数を計算し、最短サイクル重みの効率的計算を可能にする。
• Strojohannのアルゴリズムを用いて、多項式環上の行列式を高速に計算する。
• 有限体上のランダム代入を適用し、記号的導関数を評価し、非ゼロ成分を検出することでサイクルまたはパスの属するかどうかを特定する。
• 頂点分割を用いて、無向グラフにおける最短サイクルの問題を$n$回の最小重み完全マッチング計算に還元する。
• 行列式に基づく代数的計算と二分探索を組み合わせ、直径および半径を$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で計算する。
• 最小重み完全マッチングにおける双対解の新しい組合せ的解釈を導入し、新たな構造的洞察を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列乗算に基づく統一的で代数的なフレームワークを用いて、負の重みをもつグラフにおける複数の基本的グラフ問題を解くことは可能か？
• RQ2 負の辺重みをもつ無向グラフにおける最短サイクルを$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で計算することは可能か？
• RQ3 一般（非二部）無向グラフにおける最小重み完全マッチング問題を$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で解くことは可能か？2006年のオープン問題を解決する。
• RQ4 代数的手法を用いて、負の辺重みをもつグラフの直径および半径を$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で計算することは可能か？
• RQ5 長さが$t$以下のサイクル上にある頂点の集合を、記号的行列式計算を用いて効率的に計算することは可能か？

主な発見

• 本稿は、負の辺重みをもつ無向グラフにおける最短サイクルを求めるための初めての$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間アルゴリズムを提示する。
• 本稿は、負の辺重みをもつ無向グラフにおける直径および半径を求めるための初めての$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間アルゴリズムを提示する。
• Sankowskiの2006年のオープン問題を解決し、一般無向グラフにおける最小重み完全マッチングを$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で解くアルゴリズムを提供する。
• フレームワークは、$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で負の重みサイクルを検出でき、有向グラフにおける最良の境界と一致する。
• 長さが$t$以下のサイクル上にある頂点の集合を$\tilde{O}(Wn^{\tau})$時間で計算でき、従来の$\tilde{O}(Wn^{\tau}t)$の境界を改善する。
• 最小重み完全マッチングにおける双対解の新しい組合せ的解釈が開発され、独立した理論的関心をもつ。