[論文レビュー] Computing the diameter polynomially faster than APSP

Raphael Yuster|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、既知の全対最短経路（APSP）アルゴリズムよりも多項式的に速く、整数辺重みをもつ有向グラフの径路を計算する最初の確率的アルゴリズムを提示する。新たな「しきい値APSP問題」—距離d以内のすべての頂点対を報告すること—を導入し、多項式上の行列畳み込みと高速行列乗算を用いることで、重みが{−M,…,M}に属する場合の実行時間を Õ(M^{ω/(ω+1)}n^{(ω²+3)/(ω+1)}) に抑え、これは有界なMに対してZwickのAPSPアルゴリズムよりも高速である。

ABSTRACT

We present a new randomized algorithm for computing the diameter of a weighted directed graph. The algorithm runs in $\Ot(M^{\w/(\w+1)}n^{(\w^2+3)/(\w+1)})$ time, where $\w < 2.376$ is the exponent of fast matrix multiplication, $n$ is the number of vertices of the graph, and the edge weights are integers in $\{-M,...,0,...,M\}$. For bounded integer weights the running time is $O(n^{2.561})$ and if $\w=2+o(1)$ it is $\Ot(n^{7/3})$. This is the first algorithm that computes the diameter of an integer weighted directed graph polynomially faster than any known All-Pairs Shortest Paths (APSP) algorithm. For bounded integer weights, the fastest algorithm for APSP runs in $O(n^{2.575})$ time for the present value of $\w$ and runs in $\Ot(n^{2.5})$ time if $\w=2+o(1)$. For directed graphs with {\em positive} integer weights in $\{1,...,M\}$ we obtain a deterministic algorithm that computes the diameter in $\Ot(Mn^\w)$ time. This extends a simple $\Ot(n^\w)$ algorithm for computing the diameter of an {\em unweighted} directed graph to the positive integer weighted setting and is the first algorithm in this setting whose time complexity matches that of the fastest known Diameter algorithm for {\em undirected} graphs. The diameter algorithms are consequences of a more general result. We construct algorithms that for any given integer $d$, report all ordered pairs of vertices having distance {\em at most} $d$. The diameter can therefore be computed using binary search for the smallest $d$ for which all pairs are reported.

研究の動機と目的

• 既存の全対最短経路（APSP）アルゴリズムよりも、整数辺重みをもつ有向グラフの径路を計算するより高速なアルゴリズムを開発すること。
• 整数重み付き有向グラフにおいて、径路がAPSPより漸近的に速く計算可能かどうかという未解決問題に取り組むこと。
• 無重み有向グラフの Õ(n^ω) アルゴリズムを正の整数重みの場合に拡張し、最も効率の良い無向グラフアルゴリズムと同等の性能を得ること。
• 径路計算の主要な素因となる「しきい値APSP問題」—距離d以内のすべての頂点対を報告すること—を導入し、その解法を提示すること。

提案手法

• しきい値APSP問題を導入：与えられたしきい値dに対して、距離がd以下であるすべての頂点対を報告すること。
• dに対する二分探索を用いて径路を計算し、径路問題を複数のしきい値APSPインスタンスに還元すること。
• 重みが{−M,…,M}に属する負およびゼロの重みに対しては、距離のレベルごとの再帰的分解を用い、区間L(d,M,j)に属するkに対する行列A_kをグループ化すること。
• 複数の距離行列A_kを、単一の多項式行列Bの係数として符号化し、B[u,v] = Σ_{q=0}^{s-1} A_{q+t}[u,v] x^q と定義すること。
• 多項式環上でC = B²を計算し、係数抽出を用いてA_kを回復することで、多項式上の高速行列乗算を活用すること。
• 基数変換（例：x = n+1）を用いて多項式乗算を整数演算でシミュレートし、O(M)個の係数のため Õ(M n^ω) 時間で抑えられること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 整数辺重みをもつ有向グラフの径路は、既知のAPSPアルゴリズムよりも速く計算可能か？
• RQ2 全APSPよりも厳密に簡単な問題クラス（しきい値APSP）を用いて径路を計算する方法はあるか？
• RQ3 無重み有向グラフの Õ(n^ω) アルゴリズムを正の整数重み付きグラフに拡張し、同等の漸近的複雑度を得られるか？
• RQ4 高速行列乗算を用いた径路計算において、重み範囲Mとグラフサイズnの間の最適なトレードオフは何か？

主な発見

• 本アルゴリズムは、重みが{−M,…,M}に属する有向グラフの径路を Õ(M^{ω/(ω+1)}n^{(ω²+3)/(ω+1)}) 時間で計算でき、有界なMに対してZwickのAPSPアルゴリズムよりも多項式的に速い。
• 有界な整数重み（M = O(1)）の場合、ω < 2.376 ならば実行時間はO(n^{2.561}) となり、既存の最良のAPSPアルゴリズムのO(n^{2.575}) よりも高速である。
• ω = 2 + o(1) の場合、本アルゴリズムは Õ(n^{7/3}) 時間で実行され、無向グラフにおける最良の部分立方時間と一致する。
• 正の整数重み{1,…,M}の場合、決定的アルゴリズムにより径路を Õ(M n^ω) 時間で計算でき、無向グラフの最良の既知の複雑度と一致する。
• 本アルゴリズムは、複数の距離行列を同時に計算する多項式行列畳み込みを用いており、コストをO(M²n^ω)から Õ(M n^ω) に削減している。
• 解法は距離範囲の再帰的レベルベースの分解と、構造的係数集合に対する効率的な多項式表現に依存しており、高速行列乗算を可能にしている。