[論文レビュー] An action for higher spin gauge theory in four dimensions

Nima Doroud, Lee Smolin|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 23被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論のMacDowell-Mansouri形式を拡張することで、4次元ボソン的高スピンゲージ理論の立方体作用原理を提案する。作用は無限次元のゲージ対称性をもつ位相的場理論から生じ、ローレンツ代数に対応する対称性の破れを経て、バシリエフの運動方程式を導出する。主な結果として、すべての制約が第一級であることを示すハミルトニアン形式が得られ、理論の微分同相変換不変性およびゲージ構造が確認される。

ABSTRACT

An action principle is presented for Vasiliev's Bosonic higher spin gauge theory in four spacetime dimensions. The action is of the form of a broken topological field theory, and arises by an extension of the MacDowell-Mansouri formulation of general relativity. In the latter theory the local degrees of freedom of general relativity arise by breaking the gauge invariance of a topological theory from $sp(4)$ to the Lorentz algebra. In Vasiliev's theory the infinite number of degrees of freedom with higher spins similarly arise by the breaking of a topological theory with an infinite dimensional gauge symmetry extending $sp(4)$ to the Lorentz algebra. The Hamiltonian formulation of Vasilev's theory is then derived from our action, and it is shown that the Hamiltonian is a linear combination of constraints, as expected for a diffeomorphism invariant theory. The constraint algebra is computed and found to be first class.

研究の動機と目的

• バシリエフの4次元ボソン的高スピンゲージ理論に対する一貫性のある作用原理を構築すること。これは長年の未解決問題であった。
• 一般相対性理論の$sp(4)$からローレンツ群への対称性の破れに基づくMacDowell-Mansouri形式を、無限次元の高スピンゲージ対称性へ拡張すること。
• バシリエフ理論のハミルトニアン形式を導出し、その制約代数が第一級であることを確認することで、ゲージ不変性および微分同相変換不変性を裏付けること。
• 一般相対性理論が位相的場理論として対称性が破れたものであるのに対し、高スピン理論がその無限スピン拡張としての明確な類似性を確立すること。

提案手法

• 作用は、$sp(4)$を拡張する無限次元ゲージ代数をもつ位相的場理論として構築され、MacDowell-Mansouri手法に類似している。
• ゲージ代数は高スピン代数$hs(4)$として実現され、$Z$-空間の微分構造を持つ、ねじれた随伴表現に値をとる場として表現される。
• 作用は接続$A$と曲率$F$を用いて定式化され、スーパー跡と$Z$-依存の積分測度を含む、チェーン＝シモンズ形式に類似した形をとる。
• 時空の3+1分解を適用してハミルトニアンを導出し、空間的成分の接続に共役する正準運動量を定義する。
• 正準解析から制約が導かれる。これらには一般化されたガウス型、微分同相変換に類似した、および物質の制約が含まれ、すべて第一級であることが示される。
• 制約代数を明示的に計算し、ポアソン括弧の関係が閉じており第一級構造を確認することで、ゲージ不変性が裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バシリエフの4次元ボソン的高スピンゲージ理論に対して、一般相対性理論のMacDowell-Mansouri作用に類似した立方体作用原理を構築できるか？
• RQ2 一般相対性理論における$sp(4) \to \mathfrak{so}(4)$の対称性の破れと同様に、無限次元のゲージ対称性が位相的場理論からどのように高スピン理論に現れるか？
• RQ3 バシリエフ理論のハミルトニアン形式は何か？ その制約は、微分同相変換不変理論に求められるように第一級であるか？
• RQ4 制約はポアソン括弧代数のもとで、空間的微分同相変換を含む正しいゲージ対称性を生成するか？

主な発見

• 提案された作用(73)は、4次元における立方体的でゲージ不変な形式として、バシリエフの運動方程式(58, 59)を正確に再現する。
• ハミルトニアンは第一級制約の線形結合(83–92)として示され、理論の微分同相変換不変性およびゲージ構造が確認される。
• 一般化されたガウス制約(83)を含むすべての制約が第一級であることが、他のすべての制約とのポアソン括弧が消えることで裏付けられる。
• ガウス制約はゲージ変換を生成する：$\{\widetilde{G}[f], \widetilde{W_i}[g^i]\} \approx \widetilde{D_i f}[g^i]$、これは局所的対称性と整合する。
• 空間的微分同相変換対称性は制約代数を通じて実現され、制約面において$\{\widetilde{G}[\xi^j W_j], \widetilde{W_i}[f^i]\} \approx \widetilde{\mathcal{L}_\xi W_i}[f^i]$が成り立つ。
• 全制約代数はポアソン括弧のもとで閉じており、ハミルトニアン形式の整合性および理論の量子理論への適合性が確認される。