[論文レビュー] An exact string representation of 3d SU(2) lattice Yang--Mills theory

Florian Conrady, Igor Khavkine|ArXiv.org|Jun 23, 2007

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 32被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元SU(2)格子ヤン・ミルズ理論の正確なストリング表現を確立する。これは、スピンフォーム双対を基本ストリングの自己回避的ワールドシートの和に再定式化することで達成される。立方体と切断 rhombic dodecahedron から成るフレームド格子を導入することで、スピンフォームと非分岐・ラベルなしワールドシートの間の全単射を証明し、分配関数とポリコフ線の期待値を、導出された振幅因子を伴うこれらのストリングワールドシートの明示的和として表現可能となる。

ABSTRACT

We show that 3d SU(2) lattice Yang--Mills theory can be cast in the form of an exact string representation. The derivation starts from the exact dual (or spin foam) representation of the lattice gauge theory. We prove that every dual configuration (or spin foam) can be equivalently described as a self--avoiding worldsheet of strings on a framing of the lattice. Using this correspondence, we translate the partition function into a sum over closed worldsheets that are weighted with explicit amplitudes. The expectation value of two Polyakov loops with spin j becomes a sum over worldsheets that are bounded by 2j strings along a framing of the loops.

研究の動機と目的

• 3次元SU(2)格子ヤン・ミルズ理論の完全に明示的かつ正確なストリング表現を確立すること。
• ゲージ理論がストリング的自由度と双対であるという長年の予想を解決すること。
• 従来の手法の制限を克服し、スピンフォームと非分岐・自己回避ワールドシートの間の全単射を構築すること。
• スピンフォームグラフの代わりに幾何的ストリングワールドシートを用いることで、双対表現のための新たな計算フレームワークを提供すること。
• スピン $j$ のウィルソンループによって境界づけられるフラックス線の物理的解釈を、基本ストリングとして明確化すること。

提案手法

• 各辺でちょうど3つの面が出会うように保証するため、標準的な立方体格子を立方体と切断 rhombic dodecahedron によるタイル張りに置き換える。
• この格子の2次スケルトンをフレームド（厚みを持たせた）ものにすることで、1つの面に対して複数の異なる表面を構築可能にする。
• スピン $j_f$ でラベル付けされた各面に $2j_f$ 枚のシートを割り当て、連結で非分岐なワールドシートの形成を可能にする。
• トポロジー的および組合的制約を満たす、埋め込まれたフレームド格子内のコンパクトで自己回避的な表面としてワールドシートを定義する。
• スピン結合条件を保存する写像を介して、許容可能なワールドシートとスピンフォーム配置との間の全単射を証明する。
• Nambu-Goto作用の一般化である、$6j$-記号と面占有数 $N_{f'}$ を含む、ワールドシートの明示的振幅因子を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元SU(2)格子ヤン・ミルズ理論は、基本ストリングワールドシートの観点から正確に再定式化可能か？
• RQ2 スピンフォームと非分岐ワールドシートの1対1対応を保証するために、格子にどのようなトポロジー的および幾何的変更が必要か？
• RQ3 ワールドシートの振幅因子は、元のスピンフォーム振幅、特に $6j$-記号とどのように関係するか？
• RQ4 スピン $j$ の2つのポリコフ線の期待値に対応するワールドシートの境界構造はいかなるものか？
• RQ5 複数の交差が生じる場合に、得られたストリング表現がNambu-Goto作用とどの程度一般化されたり異なったりするか？

主な発見

• 元の格子におけるスピンフォームと、立方体と切断 rhombic dodecahedron から成るフレームド・変形格子における自己回避的・非分岐ワールドシートとの間で全単射が確立された。
• 3次元SU(2)格子ヤン・ミルズ理論の分配関数が、$6j$-記号と面占有数を含む明示的振幅因子で重み付けられた閉じたワールドシートの和として正確に再書き直された。
• スピン $j$ の2つのポリコフ線の期待値が、各ループのフレームに沿って $2j$ 個のストリングで境界づけられたワールドシートの和として表現され、$j=1/2$ の場合にクォーク間のストリングが途切れずに保たれる。
• ワールドシートが面を1回しか通らない場合（$N_{f'} \to 1$）、振幅はワールドシートの面積に比例する形に簡略化され、Nambu-Goto作用に類似する。
• 面占有数 $N_{f'} > 1$ の場合、$N_{f'}$ に対する非線形依存性が、隣接するストリング間の新たな相互作用を導入する。これは単純な合体や分岐を越える。
• このストリング表現は、3次元SU(2)格子ゲージ理論におけるゲージ-ストリング双対性の、初めての正確かつ完全に明示的な実現であり、アーベル2次チェーン形式や有効Nambu-Gotoモデルとは異なる。