[論文レビュー] An explicit theory of $\pi_1^\mathrm{un,crys}(\mathbb{P}^1 - \{0,\mu_{N},\infty\})$ - I-3 : The number of iterations of the Frobenius viewed as a variable

David Jarossay|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、有限体上の1次元射影直線から0、∞およびN乗単位根を除いたものの結晶的pro-単純型基本群族の明示的理論を構築する。フロベニウス反復回数をp進変数として取り扱うことで、関連する周期—代数的p進多重ゼータ値—を計算し、従来の構成とは異なる新規の調和イバラ型作用を導入する。これにより、フロベニウス不変パスの間接的計算が可能となる。

ABSTRACT

Let $X_{0}$ be a curve $ ext{ }\mathbb{P}^{1} - (\{0,\infty\} \cup \mu_{N}) ext{ }/ ext{ }\mathbb{F}_{q}$, with $N \in \mathbb{N}^{\ast}$ and $\mathbb{F}_{q}$ of characteristic $p$ prime to $N$ and containing a primitive $N$-th root of unity. We establish an explicit theory of the crystalline pro-unipotent fundamental groupoid of $X_{0}$. In this part I, we compute explicitly the Frobenius and in particular the periods associated with it, i.e. cyclotomic $p$-adic multiple zeta values. In I-1 and I-2 the number of iterations of the Frobenius was a fixed integer $\alpha \in \mathbb{N}^{\ast}$. In this I-3, we study how the Frobenius depends on $\alpha$ viewed as a $p$-adic variable. One of the applications is to obtain a natural indirect computation of the variant of cyclotomic $p$-adic multiple zeta values that expresses the Frobenius-invariant path at $(\vec{1}_{1},\vec{1}_{0})$. The results are expressed by defining a counterpart of the harmonic Ihara action which is different from the two ones defined in I-2.

研究の動機と目的

• 結晶的pro-単純型基本群族の理論を、フロベニウス反復回数をp進変数として取り入れる形に拡張すること。
• 反復回数をp進的意味での変数とみなした場合のフロベニウス作用素に関連する周期を計算すること。
• 接点基点 (1̲₁, 1̲₀) におけるフロベニウス不変パスの自然な間接的計算を提供すること。
• 従来の研究とは異なる、この変数設定下でのフロベニウス作用を記述する新規な調和イバラ作用の定義

提案手法

• X₀ = P¹ − {0, ∞} ∪ μ_N 上の有限体 F_q 上の結晶的pro-単純型基本群族の文脈でフロベニウス作用素を分析する。
• 従来は自然数 α ∈ ℕ* として固定されていたフロベニウス反復回数が、今やp進変数として扱われる。
• この変数枠組みにおけるフロベニウス作用に伴う周期として、代数的p進多重ゼータ値が計算される。
• I-2におけるそれらとは異なった新規の調和イバラ型作用が構成され、フロベニウス作用がp進反復変数に依存する様子を符号化する。
• 1次元射影直線の幾何とF_qに原始N乗根が存在することを理論の根拠とする。
• 結晶コhomologyとpro-単純型基本群族を用いて、モノドロミー構造とフロベニウス構造を明示的に記述するフレームワークを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フロベニウス作用が、反復回数をp進変数とみなした場合に、結晶的pro-単純型基本群族にどのように依存するか。
• RQ2 この変数的フロベニウスに対応する明示的周期—特に代数的p進多重ゼータ値—は何か。
• RQ3 接点基点 (1̲₁, 1̲₀) におけるフロベニウス不変パスは、この変数枠組みを通じて間接的に計算可能か。
• RQ4 新規の調和イバラ型作用は、I-2で既に定義された二つのものとどのように異なるか。
• RQ5 この文脈において、フロベニウス反復回数をp進変数として扱う幾何的・算術的意味は何か。

主な発見

• 本稿は、I-2で既に定義された二つとは異なる新規の調和イバラ型作用を構成し、フロベニウス作用の新たな枠組みを提供する。
• フロベニウス作用素に関連する周期が、変数的反復設定下で明示的に代数的p進多重ゼータ値として計算される。
• 接点基点 (1̲₁, 1̲₀) におけるフロベニウス不変パスは、変数的反復アプローチによって可能になった間接的計算により得られる。
• フロベニウス作用が反復回数を表すp進変数にどのように依存するかが、明示的に記述される。
• 結果は結晶コhomologyとpro-単純型基本群族の言語で表現され、p ∤ N かつ F_q に原始N乗根が存在するという条件下で有効である。
• 周期の明示的計算と新規作用の導入により、この算術的文脈におけるモノドロミー構造とフロベニウス構造の理解が深まる。