[論文レビュー] Analysis and geometry on marked configuration spaces

Sergio Albeverio, Yuri Kondratiev+2 more|ArXiv.org|Aug 14, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 40被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リー群 $G$ の同次空間 $M$ をマークとするリーマン多様体 $X$ 上のマーク付き配置空間に、微分幾何学および確率的解析の枠組みを確立する。自然勾配 $\nabla^\Omega$ と発散 $\operatorname{div}^\Omega$ を導入し、これらが双対となる体積要素として混合マーク付きポアソン測度が同定される。主な貢献は、これらの測度が誘導された幾何における一意な体積要素であると特定することに加え、群 $\mathfrak{A}$ のディリクレ形式および滑らかな $G$-値の電流の表現の構成である。

ABSTRACT

We carry out analysis and geometry on a marked configuration space $Ω^M_X$ over a Riemannian manifold $X$ with marks from a space $M$. We suppose that $M$ is a homogeneous space $M$ of a Lie group $G$. As a transformation group $\frak A$ on $Ω_X^M$ we take the ``lifting'' to $Ω_X^M$ of the action on $X imes M$ of the semidirect product of the group $\operatorname{Diff}_0(X)$ of diffeomorphisms on $X$ with compact support and the group $G^X$ of smooth currents, i.e., all $C^\infty$ mappings of $X$ into $G$ which are equal to the identity element outside of a compact set. The marked Poisson measure $π_σ$ on $Ω_X^M$ with Lévy measure $σ$ on $X imes M$ is proven to be quasiinvariant under the action of $\frak A$. Then, we derive a geometry on $Ω_X^M$ by a natural ``lifting'' of the corresponding geometry on $X imes M$. In particular, we construct a gradient $ abla^Ω$ and a divergence $\operatorname{div}^Ω$. The associated volume elements, i.e., all probability measures $μ$ on $Ω_X^M$ with respect to which $ abla^Ω$ and $\operatorname{div}^Ω$ become dual operators on $L^2(Ω_X^M;μ)$, are identified as the mixed marked Poisson measures with mean measure equal to a multiple of $σ$. As a direct consequence of our results, we obtain marked Poisson space representations of the group $\frak A$ and its Lie algebra $\frak a$. We investigate also Dirichlet forms and Dirichlet operators connected with (mixed) marked Poisson measures.

研究の動機と目的

• マーク付き配置空間 $\Omega_X^M$ における微分幾何学的および確率的解析の枠組みを構築すること。ここで $M$ はリー群 $G$ の同次空間である。
• 群 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ の $\Omega_X^M$ 上への作用を拡張し、マーク付きポアソン測度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ がこの作用に関して準不変であることを証明すること。
• ベース空間 $X \times M$ からの上昇を用いて、$\Omega_X^M$ 上に自然勾配 $\nabla^\Omega$ と発散 $\operatorname{div}^\Omega$ を定義し、関連する体積要素を同定すること。
• 混合マーク付きポアソン測度が、$L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 上で $\nabla^\Omega$ と $\operatorname{div}^\Omega$ が双対作用素となるような一意な確率測度であることを特徴づけること。

提案手法

• 群 $\mathfrak{A}$ は $\operatorname{Diff}_0(X)$ と $G^X$ の半直積として定義され、$X \times M$ 上に作用し、配置レベルの変換により $\Omega_X^M$ に上昇される。
• マーク付きポアソン測度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ は、$X \times M$ 上のRadon測度 $\widetilde{\sigma}$ を用いて構成され、$\widetilde{\sigma}(\{x\} \times M) = 0$ を満たす。
• $\Omega_X^M$ 上の勾配 $\nabla^\Omega$ と発散 $\operatorname{div}^\Omega$ は、$X \times M$ のリーマン的構造からの上昇手続きを用いて定義され、マーク付きポアソン勾配 $\nabla^{\mathrm{MP}}$ と作用素 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ を用いる。
• 幾何の体積要素 $\mu$ は、$\widetilde{\sigma}$ に比例する平均測度を持つ混合マーク付きポアソン測度として特定され、$L^2(\mu)$ 上で $\nabla^\Omega$ と $\operatorname{div}^\Omega$ が双対となることを保証する。
• ディリクレ形式 $\mathcal{E}^{\mathrm{MP}}_{\pi_{\widetilde{\sigma}}, A}(F_1, F_2)$ は、$\int_{\Omega_X^M} (\nabla^{\mathrm{MP}}F_1, A \nabla^{\mathrm{MP}}F_2)_{L^2(\widetilde{\sigma})} \, \pi_{\widetilde{\sigma}}(d\omega)$ として構成され、$A > 0$ である。
• 内在的ディリクレ作用素 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ は、$H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ の2次量子化として示され、$\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{p}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 上で $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}} = \nabla^{\mathrm{MP}*} H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}} \nabla^{\mathrm{MP}}$ を満たす。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ が $\Omega_X^M$ 上に作用するとき、マーク付きポアソン測度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ は準不変か？
• RQ2 $X \times M$ からの幾何の上昇を用いて、$\Omega_X^M$ 上に自然な微分幾何学的構造（具体的には勾配および発散作用素）を構築できるか？
• RQ3 $\Omega_X^M$ 上の確率測度 $\mu$ で、$L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 上で勾配 $\nabla^\Omega$ と発散 $\operatorname{div}^\Omega$ が双対作用素となるようなものはどれか？
• RQ4 $\Omega_X^M$ 上のディリクレ形式および作用素は、ベース空間 $X \times M$ 上のそれらとどのように関係するか？
• RQ5 内在的ディリクレ作用素 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ のスペクトル的性質は何か？また、どのような条件下で本質的に自己随伴となるか？

主な発見

• マーク付きポアソン測度 $\pi_{\widetilde{\sigma}}$ は、群 $\mathfrak{A} = \operatorname{Diff}_0(X) \ltimes G^X$ の $\Omega_X^M$ 上の作用に関して準不変であり、標準ポアソン測度が $\operatorname{Diff}_0(X)$ に関して準不変であるという事実を一般化する。
• $\Omega_X^M$ 上の勾配 $\nabla^\Omega$ と発散 $\operatorname{div}^\Omega$ は、$X \times M$ からの上昇を用いて構築され、$\mu$ が $\widetilde{\sigma}$ に比例する平均測度を持つ混合マーク付きポアソン測度である場合に限り、$L^2(\Omega_X^M; \mu)$ 上で双対作用素となる。
• $\Omega_X^M$ 上の内在的ディリクレ作用素 $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ は、$X \times M$ 上のディリクレ作用素 $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ の2次量子化として同定され、$\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{p}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 上で $H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}} = \nabla^{\mathrm{MP}*} H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}} \nabla^{\mathrm{MP}}$ を満たす。
• $H^{X \times M}_{\widetilde{\sigma}}$ が $\mathfrak{D}_0$ 上で本質的に自己随伴であれば、$H^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}$ は $\mathcal{F}C^{\infty}_{\mathrm{b}}({\mathfrak{D}}_0, \Omega_X^M)$ 上で本質的に自己随伴であり、これにより正しく定義されたマルコフ過程が保証される。
• 遷移半群 $T^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}(t) = \exp(-tH^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}})$ は、関数 $\exp(\langle \log(1+\varphi), \cdot \rangle)$ に作用し、$\varphi \in \mathfrak{D}_0$ かつ $\varphi > -1$ のとき、$T^\Omega_{\pi_{\widetilde{\sigma}}}(t)\exp(\langle\log(1+\varphi),\cdot\rangle) = \exp\big{(}\langle\log(1+e^{-tH^{X\times M}_{\widetilde{\sigma}}}\varphi),\cdot\rangle - \langle(e^{-tH^{X\times M}_{\widetilde{\sigma}}}-\mathbf{1})\varphi\rangle_{\widetilde{\sigma}}\big{)}$ を満たす。
• 結果として、群 $\mathfrak{A}$ 及びそのリー代数 $\mathfrak{a}$ のマーク付きポアソン空間 $\Omega_X^M$ 上への表現が得られ、以前の非マーク付きの場合の結果が拡張される。