[論文レビュー] Approximating Maximin Shares with Mixed Manna.

Rucha Kulkarni, Ruta Mehta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Game Theory and Voting Systems参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、アイテムが財または負担の両方を含む混合マナ（mixed manna）における最大最小共有（MMS）割り当てを近似するためのPTASを提示する。このPTASは、2つの重要な条件を満たす場合に有効である：エージェント数が定数であること、および各エージェントが財と負担に対して示す価値に顕著な差があること。本稿では、これらの条件が満たされない場合、問題がNP困難になることを示し、定数エージェント数の財のみまたは負担のみの設定における未解決の問題を解消する。

ABSTRACT

We initiate the study of fair allocations of a mixed manna under the popular fairness notion of maximin share (MMS). A mixed manna allows an item to be a good for some agents and chore for others, hence strictly generalizes the well-studied goods (chores) only manna. For the good manna, Procaccia and Wang [PW14] showed non-existence of MMS allocation. This prompted works on finding an $\alpha$-MMS allocation. A series of works obtained efficient algorithms, improving $\alpha$ to $\frac{3}{4}$ for $n\ge 5$ agents. Computing an $\alpha$-MMS allocation for the maximum $\alpha$ for which it exists is known to be NP-hard. But the question of finding $\alpha$-MMS for the near best $\alpha$ remains unresolved. We make significant progress towards this question for mixed manna by showing a striking dichotomy: We derive two conditions and show that the problem is tractable under these, while dropping either renders the problem intractable. The conditions are: $(i)$ number of agents is constant, and $(ii)$ for every agent, her total value for goods differs significantly from that for chores. For instances satisfying $(i)$ and $(ii)$ we design a PTAS - an efficient algorithm to find $(\alpha-\epsilon)$-MMS allocation given $\epsilon>0$ for the best possible $\alpha$. We also show that if either condition is not satisfied then finding $\alpha$-MMS for any $\alpha\in(0,1]$ is NP-hard, even when solution exists for $\alpha=1$. As a corollary, our algorithm resolves the open question of designing a PTAS for the goods only setting with constantly many agents (best known $\alpha=\frac{3}{4}$), and similarly also for chores only setting. In terms of techniques, we use market equilibrium as a tool to solve an MMS problem, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 定数エージェント数の財のみまたは負担のみの設定において、MMS割り当てのためのPTASを設計するという未解決問題に取り組む。
• アイテムが一部のエージェントにとっては財、他のエージェントにとっては負担となる混合マナにおいて、MMS近似が解ける正確な条件を同定する。
• 解ける条件と解けない条件の明確な二分岐（dichotomy）を確立する：MMS近似が解けるのは、定数エージェント数と各エージェントごとの価値差が両方満たされる場合に限る。
• いずれの条件も満たさない場合、完全なMMS割り当てが存在する場合でさえ、問題がNP困難になることを示す。
• 市場均衡をMMS問題の解決に新たな応用する手法を提案し、本研究の範囲を超えた応用可能性を示唆する。

提案手法

• 2つの主要条件（定数エージェント数、各エージェントの財と負担に対する価値に顕著な差）を満たす場合に、任意のε>0に対して(α−ε)-MMS割り当てを計算するPTASを提案する。
• 競争的均衡の概念を活用して、エージェントの評価をバランスさせる市場均衡フレームワークを用いてMMS割り当て問題をモデル化・解決する。
• 連続的な市場均衡解を離散的割り当てに変換するラウンドオフ手順を設計し、MMSの閾値に近い解を得る。
• 2つの条件が満たされる場合、市場均衡が最適なα-MMS値に限りなく近い解をもたらすことを証明する。
• 既知のNP困難問題への還元を用いて、いずれの条件も緩和されると問題が不条理になることを示す。
• 価値差条件を分析する際、各エージェントの財の合計価値と負担の合計価値を比較し、アルゴリズムの実行可能性を保証する十分な分離を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エージェント数が定数である財のみまたは負担のみの設定において、MMS割り当てのためのPTASを設計することは可能か？
• RQ2 エージェントの評価にどのような構造的条件が、混合マナにおけるMMS近似の解法可能性を決定づけるか？
• RQ3 完全なMMS割り当てが存在する場合でさえ、MMS近似がNP困難になる明確な閾値は存在するか？
• RQ4 市場均衡の概念は、MMS割り当てのような公平配分問題の解決に効果的に再利用可能か？
• RQ5 エージェント数または価値差条件のいずれかを除外した場合、MMS割り当ての計算複雑性はどのように変化するか？

主な発見

• エージェント数が定数であり、各エージェントの財の合計価値と負担の合計価値に顕著な差がある場合、混合マナにおけるα-MMS割り当てのためのPTASが存在する。
• いずれの条件も満たされない場合、任意のα∈(0,1]に対するα-MMS割り当ての計算はNP困難になる。これは、完全な1-MMS割り当てが存在する場合でさえ同様である。
• 提案されたアルゴリズムは、任意のε>0に対して(α−ε)-MMS割り当てを達成する。ここでαは、与えられた条件下での最良の近似比である。
• 本結果により、定数エージェント数の財のみまたは負担のみの設定におけるPTAS設計という未解決問題が解決され、従来の最良のα=3/4を上回る。
• MMS割り当ての解決に市場均衡を用いる手法が有効であることが示され、公平配分分野における新たなアルゴリズム的戦略の発展を促す可能性を示す。
• 解ける場合と解けない場合の明確な二分岐が成立する：両条件が解法可能性の必要十分条件である。