[論文レビュー] Arithmetic degrees and dynamical degrees of endomorphisms on surfaces

Yohsuke Matsuzawa, Kaoru Sano+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、滑らかな射影的曲面上の全射自己準同型について、Kawaguchi–Silverman予想を証明し、Zariski稠密な前向き軌道をもつ有理点に対して、算術的次数が力学的次数に等しいことを確立する。さらに、全射自己準同型のもとで任意の滑らかな射影的多様体上にそのような有理点が常に存在することを示し、自己同型の場合には、互いに素で完全な複素度を持つ軌道をもつZariski稠密な点の集合を構成可能であることを示す。

ABSTRACT

For a dominant rational self-map on a smooth projective variety defined over a number field, Kawaguchi and Silverman conjectured that the (first) dynamical degree is equal to the arithmetic degree at a rational point whose forward orbit is well-defined and Zariski dense. We prove this conjecture for surjective endomorphisms on smooth projective surfaces. For surjective endomorphisms on any smooth projective varieties, we show the existence of rational points whose arithmetic degrees are equal to the dynamical degree. Moreover, we prove that there exists a Zariski dense set of rational points having disjoint orbits if the endomorphism is an automorphism.

研究の動機と目的

• 滑らかな射影的曲面上の全射自己準同型について、Kawaguchi–Silverman予想を証明すること。
• 滑らかな射影的多様体上の任意の全射自己準同型に対して、算術的次数が力学的次数に等しい有理点の存在を確立すること。
• 滑らかな射影的多様体上の自己同型について、互いに素な軌道をもつZariski稠密な有理点の集合を構成すること。
• 算術的力学的次数の研究を、高さ関数およびネフ線型束を用いて拡張すること。

提案手法

• f∗D ≡ δfD を満たすネフR-線型束Dの存在を用いて、標準的高さ関数ĥ(P) = lim (hD(fn(P))/δfn) を定義する。
• 標準的高さ関数を用いて、ĥ(P) > 0 ならば αf(P) = δf であることを示し、算術的次数と力学的次数を結びつける。
• エタール有限準同型における力学的Mordell–Lang予想を適用して、軌道の交差を制御し、互いに素であることを保証する。
• ビッグ線型束および完全交差曲線の理論を用いて、完全な算術的複雑度を持つ点を構成する。
• 算術的次数の被約不変性を用いて、特に曲面の場合に問題をより単純なモデルに還元する。
• Perron–Frobenius型の結果を適用して、固有値条件 f∗D ≡ δfD を満たす非自明なネフ線型束の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな射影的曲面上の全射自己準同型のもとで、Zariski稠密な前向き軌道をもつ有理点について、算術的次数は力学的次数に等しいか？
• RQ2 任意の滑らかな射影的多様体上の全射自己準同型に対して、算術的次数が力学的次数に等しい有理点が存在するか？
• RQ3 滑らかな射影的多様体上の自己同型のもとで、互いに素な軌道をもつZariski稠密な有理点の集合が存在するか？
• RQ4 標準的高さ関数ĥ(P) が正である条件は何か？ そのとき αf(P) = δf が成り立つ。
• RQ5 曲面および高次元多様体上のネフおよびビッグ線型束の性質は、完全な算術的複雑度を持つ点の存在にどのように影響するか？

主な発見

• Kawaguchi–Silverman予想は、滑らかな射影的曲面上のすべての全射自己準同型について成立する。
• 任意の滑らかな射影的多様体上の全射自己準同型に対して、αf(P) = δf を満たす有理点Pが存在する。
• 滑らかな射影的多様体上の自己同型について、任意のP ∈ S に対して αf(P) = δf であり、かつ軌道が互いに素であるZariski稠密な有理点の集合Sが存在する。
• 標準的高さ関数ĥ(P) は存在し、ĥ(P) = hD + O(√hH) を満たし、ĥ(P) > 0 ならば αf(P) = δf である。
• δf > 1 である任意の滑らかな射影的多様体において、完全交差曲線C上に αf(P) = δf を満たす無限個の点が存在する。
• f∗D ≡ δfD を満たす非ゼロのネフR-線型束Dの存在は、標準的高さ関数が適切に定義されることを保証し、完全な算術的次数を持つ点の構成を可能にする。