[論文レビュー] Arithmetic on Balanced Parentheses: The case of Ordered Motzkin Words

Gennady Eremin|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、先頭に0を含まない括弧のバランスの取れた文字列であるモツキン語に対して、自然数に類似した列として扱うための辞書式順序を導入する。この順序に基づき、モツキン・ロウと呼ばれる順序付き列上で算術的および論理的演算を定義し、'0' をゼロ要素として用いることで、インデックスに基づく演算および多項式表現を可能にし、語の操作とナビゲーションを可能にする。

ABSTRACT

We establish a total lexicographical order on the set of Motzkin words. Elements are ordered similarly to Natural Numbers in accordance with known rules (axioms). As a result, we were able to obtain arithmetic and logical operations on the elements of the ordered sequence, Motzkin Row. This sequence consists of balanced brackets without leading zeros, with the exception of the initial word "0". It is the word "0" as well as the alphabetical symbol "0" that are analogues of numeric zero in the corresponding operations. Logical operations allow you to navigate Motzkin Row. Operations on words are accompanied by index equations, index polynomials.

研究の動機と目的

• モツキン語の集合に対して全辞書式順序を定義し、それを自然数に類似した列として扱う。
• この順序付き列であるモツキン・ロウ上で、バランスの取れた括弧語の体系的取り扱いを可能にする算術的および論理的演算を確立する。
• '0' をこのシステムにおけるゼロ要素として特定し、語としても、数値のゼロの類似物としても機能させる。
• 語の操作を符号化するインデックス方程式およびインデックス多項式を導出する。これにより、アルゴリズム的ナビゲーションと計算が可能になる。
• バランスの取れた括弧語における算術の形式的枠組みを提供し、数論的概念を組合せ的語構造へと拡張する。

提案手法

• 標準的な辞書順則に従い、文字ごとに比較することで、モツキン語に全辞書式順序を定義する。
• 有効なすべてのモツキン語を順序付けた列としてモツキン・ロウを構築し、'0' を最初の要素とする。
• 語の辞書式インデックスを用いて、算術演算（加法、乗法）および論理演算（比較、属するかの確認）を定義する。
• 語の操作をインデックス算術にマッピングするインデックス方程式を構築し、文字列の直接操作なしに計算を可能にする。
• 語の操作の結果を表すインデックス多項式を定式化し、語列の代数的取り扱いを可能にする。
• '0' を演算における単位元として用いる。語としても、インデックス算術における記号的ゼロとしても機能させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モツキン語の集合に対して、一貫的に全辞書式順序を定義する方法は何か？
• RQ2 バランスの取れた括弧語の順序付き列に対して、算術的および論理的演算を体系的に定義できるか？
• RQ3 この算術システムにおいて、語'0' が数値のゼロの類似物として果たす役割は何か？
• RQ4 モツキン語の操作を表すインデックス方程式およびインデックス多項式をどのように導出できるか？
• RQ5 この枠組みにより、モツキン語のような組合せ的語構造に対する効率的なナビゲーションと計算が可能になるか？

主な発見

• モツキン語の集合に対して全辞書式順序が確実に確立され、モツキン・ロウと呼ばれる整列済み列が形成された。
• モツキン・ロウ上で算術的および論理的演算が定義され、自然数における演算に類似した操作が可能になった。
• 語'0' はこのシステムにおいて、語としても、インデックス算術における記号的ゼロとしても、単位元として機能する。
• 語の操作をインデックス算術にマッピングするインデックス方程式が導出され、文字列操作なしにインデックスによる計算が可能になった。
• 語の操作の結果を表すインデックス多項式が定式化され、語の算術に対する代数的枠組みが提供された。
• この枠組みにより、数論的および組合せ的ツールを用いて、モツキン語の体系的ナビゲーションと操作が可能になった。