[論文レビュー] Big principal series, p-adic families and L-invariants

Lennart Gehrmann, Giovanni Rosso|arXiv (Cornell University)|May 26, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高ランクの単純非可換群上のコhomological cuspidal automorphic 表現の自動的 L-不変量について、p-進家族に基づく公式を確立し、古典的な Colmez–Greenberg–Stevens 公式を一般化する。局所解析的標準系列の Koszul 解体と Hecke 固有値の変形理論を用いて、自動的 L-不変量が Fontaine–Mazur L-不変量に等しく、符号文字の選び方に依存しないことを証明し、Spieß の予想を確認するとともに、Jacquet–Langlands 転送における不変性を拡張する。

ABSTRACT

In earlier work, the first named author generalized the construction of Darmon-style $\mathcal{L}$-invariants to cuspidal automorphic representations of semisimple groups of higher rank, which are cohomological with respect to the trivial coefficient system and Steinberg at a fixed prime. In this paper, assuming that the Archimedean component of the group has discrete series we show that these automorphic $\mathcal{L}$-invariants can be computed in terms of derivatives of Hecke-eigenvalues in $p$-adic families. Our proof is novel even in the case of modular forms, which was established by Bertolini, Darmon, and Iovita. The main new technical ingredient is the Koszul resolution of locally analytic principal series representations by Kohlhaase and Schraen. As an application of our results we settle a conjecture of Spieß: we show that automorphic $\mathcal{L}$-invariants of Hilbert modular forms of parallel weight $2$ are independent of the sign character used to define them. Moreover, we show that they are invariant under Jacquet-Langlands transfer and, in fact, equal to the Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariant of the associated Galois representation. Under mild assumptions, we also prove the equality of automorphic and Fontaine-Mazur $\mathcal{L}$-invariants for representations of definite unitary groups of arbitrary rank. Finally, we study the case of Bianchi modular forms to show how our methods, given precise results on eigenvarieties, can also work in the absence of discrete series representations.

研究の動機と目的

• モジュラー形式における L-不変量の Bertolini–Darmon–Iovita 公式を、高ランクの自動的表現へ一般化すること。
• 自動的 L-不変量と p-進家族における Hecke 固有値の微分との間の概念的・コhomological な関係を確立すること。
• 平行重さ 2 のヒルベルトモジュラー形式の L-不変量が符号文字に依存しないという Spieß の予想を解決すること。
• 自動的 L-不変量が Jacquet–Langlands 転送に関して不変であり、定義されたユニタリ群に対して Fontaine–Mazur L-不変量に等しいことを証明すること。
• 離散系列が存在しない場合でも、正確な固有多様体の仮定の下で、Bianchi モジュラー形式へ枠組みを拡張すること。

提案手法

• Kohlhaase と Schraen による局所解析的標準系列表現の Koszul 解体を用い、コhomological 計算における一般化された Steinberg 表現を置き換える。
• p-進家族の自動的形式の変形理論を適用し、Hecke 固有値の微分と L-不変量との関係を確立する。
• 基点を通過する固有多様体内の曲線を構成し、異なるコhomological 次元におけるコhomology 加群を比較する。
• Nakayama の補題と加群論的議論を用い、均一化因子による乗算の下でコhomology 加群の自由性と同型性を示す。
• 分岐および非分岐の場合の自動的 Colmez–Greenberg–Stevens 公式を適用し、p 以上での素数ごとの L-不変量を比較する。
• 基底変換と p-進 Langlands 関手性を用い、Bianchi 形式の L-不変量とモジュラー形式のそれとを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高ランク群における自動的 L-不変量は、p-進家族における Hecke 固有値の微分によって計算可能か？
• RQ2 Spieß がヒルベルトモジュラー形式の平行重さ 2 に対して予想したように、自動的 L-不変量は無限遠での符号文字に依存しないか？
• RQ3 自動的 L-不変量は Jacquet–Langlands 転送に関して不変であり、Fontaine–Mazur L-不変量に等しいか？
• RQ4 離散系列表現が存在しない場合でも、この手法は Bianchi モジュラー形式へ拡張可能か？
• RQ5 離散系列が存在しない状況でも、コhomological 次元間での L-不変量の等価性は保たれるか？

主な発見

• 平行重さ 2 のヒルベルトモジュラー形式の自動的 L-不変量は符号文字に依存せず、Spieß の予想を確認する。
• 任意のランクの定義されたユニタリ群に対して、やや弱い仮定の下で、自動的 L-不変量は関連するガロア表現の Fontaine–Mazur L-不変量に等しい。
• モジュラー形式を虚二次体に基底変換する場合、p 以上の両素数における L-不変量は等しく、元のモジュラー形式の L-不変量と一致する。
• p が基底体で不分岐である場合、L-不変量空間と Q_p^* の連続的特徴の交わりは、元のモジュラー形式の L-不変量に等しい。
• Bianchi モジュラー形式において、固有多様体の曲線が基点で滑らかで、接空間が一般的である限り、コhomological 次元間での L-不変量の等価性が得られる。
• 高ランク設定において自動的 Colmez–Greenberg–Stevens 公式が確立され、p における Steinberg 成分を含むコhomological 表現へ古典的公式が一般化される。