[論文レビュー] BPS/CFT correspondence V: BPZ and KZ equations from qq-characters

Nikita Nekrasov|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 40被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、${\mathcal{N}}=2$クオーバーゲージ理論における$qq$-キャラクターの枠組みから、リーマン面に穴が空いた状態におけるリーマン・リュービル場理論のベラビン＝ポリャコフ＝サモロッチコフ（BPZ）方程式およびWZW理論におけるキニジフ＝ツァモロッチク（KZ）型方程式を導出する。$SU(2)^{r-3}$ゲージ対称性を持つ線形クオーバーを、新たなノードを含む拡張理論に埋め込むことで、著者らはスレート的分配関数がBPZ方程式を満たすことを示した。一方、$2n$の基礎表現または随伴表現のハイパーマトリックスを有する$SU(n)$理論では、それぞれ4つの穴が空いた球面および1つの穴が空いたトーラス上でKZ方程式の解が得られる。

ABSTRACT

We illustrate the use of the theory of $qq$-characters by deriving the BPZ and KZ-type equations for the partition functions of certain surface defects in quiver ${\mathcal N}=2$ theories. We generate a surface defect in the linear quiver theory by embedding it into a theory with additional node, with specific masses of the fundamental hypermultiplets. We prove that the supersymmetric partition function of this theory with $SU(2)^{r-3}$ gauge group verifies the celebrated Belavin-Polyakov-Zamolodchikov equation of two dimensional Liouville theory. We also study the $SU(N)$ theory with $2N$ fundamental hypermultiplets and the theory with adjoint hypermultiplet. We show that the regular orbifold defect in this theory solves the KZ-like equation of the WZW theory on a four punctured sphere and one-punctured torus, respectively. In the companion paper these equations will be mapped to the Knizhnik-Zamolodchikov equations

研究の動機と目的

• 4次元${\mathcal{N}}=2$クオーバーゲージ理論におけるスレート的分配関数と2次元 conformal field theory（CFT）の相関関数との間の対応関係を確立すること。
• $SU(2)^{r-3}$クオーバー理論における表面的障害が、$qq$-キャラクターを介してリーマン・リュービル場理論のベラビン＝ポリャコフ＝サモロッチコフ（BPZ）方程式を満たすことを示すこと。
• $2n$の基礎ハイパーマトリックスまたは随伴ハイパーマトリックスを有する$SU(n)$クオーバー理論が、穴が空いたリーマン面上でKZ型方程式の解を生成することを示すこと。
• $\Omega$-バックグラウンドにおける等化局所化と$qq$-キャラクター形式を用いて、CFT方程式の場理論的導出を提供すること。

提案手法

• 著者らは、ベクトル multiplet 内の随伴スカラーの正則化された特性多項式として定義される$qq$-キャラクターを用い、ゲージ理論における合成演算子を構成する。
• 等化局所化を用いてスレート的分配関数を計算し、$\Omega$-変形パラメータ$\varepsilon_1, \varepsilon_2$を用いて、木項、1ループ項、インスタントン項に分解する。
• インスタントン分配関数は、$r \times N$のヤング図形の集合の和として表現され、インスタントン寄与を符号化する$\mathfrak{q}_i$および$\mathcal{M}_{\mathbf{\Lambda}}$の項を含む。
• 元のクオーバーを追加のノードを有するより大きな理論に埋め込み、基礎ハイパーマトリックスの質量を調整することで、所望のCFT方程式を実現する表面的障害を生成する。
• $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$の特定の極限をとることで、$qq$-キャラクター関係からBPZおよびKZ方程式を回復する。
• バーナーズ二重ガンマ関数$\Gamma_2$と$\mathbb{B}_\omega$のボソン的表現を用いて、$\varepsilon_1 \to 0$および$p \to \infty$の極限における分配関数を分析し、theta関数およびKZ型構造と接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元リーマン・リュービル場理論のBPZ方程式は、4次元${\mathcal{N}}=2$クオーバーゲージ理論のスレート的分配関数からどのように導出可能か？
• RQ2 $qq$-キャラクターは、ゲージ理論の観測量からCFT相関関数を生成する際に果たす役割は何か？
• RQ3 $2n$の基礎表現または随伴表現のハイパーマトリックスを有する$SU(n)$クオーバー理論における表面的障害は、穴が空いたリーマン面上でKZ方程式の解をどのように実現するか？
• RQ4 $qq$-キャラクター形式のどの正確な極限が、WZW理論におけるキニジフ＝ツァモロッチク（KZ）方程式を回復するか？
• RQ5 新たなノードを有する理論に線形クオーバーを埋め込むことで、分配関数にCFT方程式がどのようにして出現するか？

主な発見

• 追加のノードによって生成される表面的障害を有する$SU(2)^{r-3}$クオーバー理論のスレート的分配関数は、2次元リーマン・リュービル場理論のBPZ方程式を満たす。
• $2n$の基礎ハイパーマトリックスを有する$SU(n)$理論では、分配関数は4つの穴が空いた球面上でKZに類似た方程式の解となる。
• 随伴ハイパーマトリックスを有する$SU(n)$理論の場合、分配関数は1つの穴が空いたトーラス上でKZ方程式を実現する。
• 導出は$qq$-キャラクター形式と極限$\varepsilon_1 \to 0$に依存しており、このとき分配関数は$\theta$-関数の積に簡略化され、KZ方程式の構造と一致する。
• $\varepsilon_3 \to -\varepsilon_1$の極限において、$qq$-キャラクター関係は、対数的補正を伴うKZ方程式と一致する形に簡略化され、WZW理論の構造の出現を確認する。
• $\mathbb{B}_\omega$作用素の$p \to \infty$極限では、$l$に関する積$\prod_l \left(1 - z_\omega / z_{\omega-l}\right)^{-1 - \varepsilon_1 / \varepsilon_3}$が得られ、$\varepsilon_1 \to 0$極限においてKZ方程式の$\theta$-関数形と一致する。