[論文レビュー] Building blocks of polarized endomorphisms of normal projective varieties

Sheng Meng, De‐Qi Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、正規の射影的多様体上の準極小自己同型写像が常に極小自己同型写像であることを確立し、同型写像が等変な有理写像を介して下りる（descent）ことを示している。主な貢献は、f-等変な最小モデルプログラム（MMP）とMRC被覆を用いて、極小自己同型写像の構成要素がピカール数1のファノ多様体およびQ-アーベル多様体（アーベル多様体の準エタール商）であることを示したことにある。

ABSTRACT

An endomorphism $f$ of a projective variety X is polarized (resp. quasi-polarized) if $f^*H$ is linearly equivalent to $qH$ for some ample (resp. nef and big) Cartier divisor $H$ and integer $q > 1$. First, we use cone analysis to show that a quasi-polarized endomorphism is always polarized, and the polarized property descends via any equivariant dominant rational map. Next, we show that a suitable maximal rationally connected fibration (MRC) can be made $f$-equivariant using a construction of N. Nakayama, that $f$ descends to a polarized endomorphism of the base Y of this MRC and that this Y is a Q-abelian variety (quasi-étale quotient of an abelian variety). Finally, we show that we can run the minimal model program (MMP) $f$-equivariantly for mildly singular X and reach either a Q-abelian variety or a Fano variety of Picard number one. As a consequence, the building blocks of polarized endomorphisms are those of Q-abelian varieties and those of Fano varieties of Picard number one. Along the way, we show that $f$ always descends to a polarized endomorphism of the Albanese variety Alb(X) of X, and that the pullback of a power of $f$ acts as a scalar multiplication on the Neron-Severi group of X (modulo torsion) when X is smooth and rationally connected. Partial answers about X being of Calabi-Yau type, or Fano type are also given with an extra primitivity assumption on $f$ which seems necessary by an example.

研究の動機と目的

• 正規の射影的多様体上の任意の準極小自己同型写像が実際に極小自己同型写像であることを証明すること。
• 任意の等変な支配的有理写像に沿って極小自己同型写像の性質が下りることを示すこと。
• 最大有理的連結性（MRC）被覆をf-等変にできるようにし、その底多様体に極小自己同型写像が誘導され、それがQ-アーベル多様体であることを示すこと。
• やや滑らかでない多様体に対して、f-等変に最小モデルプログラム（MMP）を実行でき、それがQ-アーベル多様体またはピカール数1のファノ多様体で終了することを示すこと。
• 極小自己同型写像の基本的構成要素を、ピカール数1のファノ多様体およびQ-アーベル多様体として特定すること。

提案手法

• 数値同値と大きな因子に基づいて、cone解析を用いて準極小自己同型写像が極小自己同型写像であることを証明する。
• Nakayamaの構成を適用してMRC被覆をf-等変にし、底多様体が極小自己同型写像を引き継ぐことを保証する。
• 自己同型写像の構造と数値的性質を用いて、MRC被覆の底多様体がQ-アーベル多様体であることを証明する。
• 滑らかさがやや劣る多様体に対して、cone定理と相対的アンプリチュードを用いて、f-等変に最小モデルプログラム（MMP）を実行する。
• X が滑らかで有理的連結なとき、fのベキの引き戻しが、 torsion を除くネロン＝セベリ群上でスカラー倍写像として作用することを示す。
• 分岐因子と被覆の因子的収縮解析を用いて、自己同型写像が原始的でQ-アーベル型でないとき、−K_X が大きな因子であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての準極小自己同型写像は必然的に極小自己同型写像であるか？
• RQ2 等変な支配的有理写像に沿って極小自己同型写像の性質は下りるか？
• RQ3 極小自己同型写像を持つ多様体の最大有理的連結性（MRC）被覆をf-等変にできるか？その底多様体の性質は何か？
• RQ4 やや滑らかでない射影的多様体に対して、f-等変に最小モデルプログラム（MMP）を実行できるか？
• RQ5 双有理幾何と分類の観点から、極小自己同型写像の基本的構成要素は何か？

主な発見

• cone解析と数値同値の議論により、準極小自己同型写像は常に極小自己同型写像であることが示された。
• 任意の等変な支配的有理写像に沿って極小自己同型写像の性質が下りる。その際、次数の関係式 (deg f)^dim(Y) = (deg g)^dim(X) が成り立つ。
• f-等変なMRC被覆の底多様体はQ-アーベル多様体、すなわちアーベル多様体の準エタール商である。
• やや滑らかでない射影的多様体に対して、f-等変なMMPはQ-アーベル多様体またはピカール数1のファノ多様体で終了する。
• 極小自己同型写像の構成要素は、正確にピカール数1のファノ多様体とQ-アーベル多様体である。
• X が滑らかで有理的連結なとき、fのベキの引き戻しが、torsion を除くネロン＝セベリ群上でスカラー倍写像として作用する。