[論文レビュー] Building the bicategory Span$_2(\mathcal {C})$

Franciscus Rebro|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、任意の引き戻しと終対象を備えた圏 𝒞 から、対象を 𝒞-対象、1-射を 𝒞 内のスパン、2-射をスパンのスパンの同型類とする二重圏 Span₂(𝒞) を構成する。主な貢献は、この構造が二重圏の公理を満たすことを証明したことであり、これは以前のコボルディズムや群札圏における構成を一般化するもので、$n$-多様体およびコローデッドコボルディズムに適用することで、対称モノイダル二重圏構造が得られる。

ABSTRACT

Given any category $\mathcal{C}$ with pullbacks and a terminal object, we show that the data consisting of the objects of $\mathcal{C}$, the spans of $\mathcal{C}$, and the isomorphism classes of spans of spans of $\mathcal{C}$, forms a bicategory. We denote this bicategory Span$_2(\mathcal{C})$ and show that this construction can be applied to give a bicategory of $n$-manifolds, cobordisms of those manifolds, and cobordisms of cobordisms.

研究の動機と目的

• スパンのスパンを含むスパンの二重圏の構成を一般化し、高次元構造を形成すること。
• 𝒞 に引き戻しと終対象があるとき、スパンのスパンの同型類を用いて定義される Span₂(𝒞) が二重圏をなすことの証明。
• $n$-多様体およびコボルディズムにこの構成を適用し、コボルディズムのコボルディズムの二重圏が得られること。
• 𝒞 における積構造を用いて Span₂(𝒞) を対称モノイダル二重圏へ拡張する基盤を築くこと。

提案手法

• Span₂(𝒞) の1-射を 𝒞 内のスパンとし、2-射をスパンのスパンの同型類とする。
• 引き戻しを用いて2-射の合成を定義し、標準的同型を介して結合則を保証する。
• 恒等スパンを用いて恒等2-射を確立し、引き戻しの性質により単位則を検証する。
• 引き戻しの普遍性およびスパンのスパンの同型を用いて、整合性条件（結合則および単位則）を証明する。
• 立方体 $σ$-多様体およびそのコローデッドコボルディズムをモデル化するため、圏 $K^n$ から角付き $n$-多様体への関手を構成する。
• $n$-多様体にこの構成を適用し、コボルディズムのコボルディズムが Span₂(𝒞) フレームワークのもとで適切に定義された二重圏をなすことの証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の引き戻しと終対象を備えた圏 𝒞 に対して、1-射をスパン、2-射をスパンのスパンとして、二重圏を構成できるか？
• RQ2 スパンのスパンの引き戻しを用いて定義される2-射の合成が、二重圏の結合則および単位則を満たすか？
• RQ3 この構成を角付き $n$-多様体の圏に適用することで、コボルディズムのコボルディズムの二重圏が得られるか？
• RQ4 得られた二重圏 Span₂(𝒞) は、さらなる拡張、たとえば対称モノイダル構造へと適合可能か？

主な発見

• 𝒞 に引き戻しと終対象があるとき、Span₂(𝒞) は適切に定義された二重圏であり、2-射の合成はスパンのスパンの引き戻しによって与えられる。
• スパンのスパンの同型類が2-射をなし、この構成は引き戻しの普遍性を尊重しており、整合性が保証される。
• この二重圏構造は同型に関して安定しており、スパンのスパンの同型は等しい2-射として同一視される。
• この構成は $n$-多様体に適用可能であり、$(n-2)$-次元多様体、$(n-1)$-次元コローデッドコボルディズム、$n$-次元コローデッドコボルディズムのコボルディズムからなる二重圏が得られる。
• 立方体 $σ$-多様体は自然に関手 $K^n \to σ$-Man を生じさせ、コローデッド $n$-重コボルディズムの体系的構成を可能にする。
• このフレームワークは、今後の研究で示唆されているように、𝒞 における積構造を用いて Span₂(𝒞) を対称モノイダル二重圏へ拡張する基盤を提供する。