[論文レビュー] C*-algebras associated with endomorphisms of groups

Felipe Vieira|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2013

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、核が無限大である可換な離散的可算群 $G$ の単射自己準同型 $φ$ から、普遍的 $C^*$-代数 $υ[φ,B]$ を構成する。この研究は、Hirshberg よりも前もって行われた Cuntz-Vershik の研究を一般化したものである。主な結果として、$G$ がアメニタリで $φ$ が純粋であるとき、$υ[φ]$ はキルヒバーグ代数であることが示され、Kirchberg の定理により分類可能であり、$K$-理論は $K_*(C^*(G))$ に同型である。これは、無限大核を持つ自己準同型への分類結果の拡張であり、$υ[φ]$ が半群 $C^*$-代数 $C^*(S)$（$S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$）と同型であることを特定する。

ABSTRACT

In this work we construct a C*-algebra from an injective endomorphisms of some group G, allowing the endomorphism to have infinite cokernel. We generalize results obtained by I. Hirshberg and also by J. Cuntz and A. Vershik. In good cases we show that the C*-algebra that we study is classifiable by Kirchberg's classification theorem, with K-groups equal to K*(C*(G)).

研究の動機と目的

• 群の自己準同型が無限大核を持つ場合に、従来の Hirshberg や Cuntz-Vershik の研究を一般化して、$C^*$-代数を構成すること。
• 群の元に対応するユニタリ、自己準同型に対応する等長変換、$B$ に属する部分群に対応する射影を用いて、$υ[\varphi,B]$ を普遍的に定義すること。この定義は、$\ell^2(G)$ 上の正則表現から自然に導かれる関係を満たす。
• 特に $G$ がアメニタリで $φ$ が純粋である場合に、$υ[\varphi,B]$ がキルヒバーグ代数となる条件を確立し、Kirchberg の定理により分類可能であることを示すこと。
• この条件下で、$υ[\varphi]$ が半群 $C^*$-代数 $C^*(S)$（$S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$）と同型であることを示し、$K_*(\mathds{U}[\varphi]) \cong K_*(C^*(G))$ を証明すること。

提案手法

• 代数 $υ[\varphi,B]$ は、$G$ の元に対応するユニタリ $\{u_g\}_{g \in G}$、等長変換 $s$、$B$ に属する部分群に対応する射影 $\{e_{[H]}\}_{H \in B}$ からなる普遍的関係によって定義され、これらは $\ell^2(G)$ 上の自然な作用（$G$、$\varphi$、$B$ の部分群）に由来する。
• この構成は、半群の交叉積の記述を用い、$S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$ の半直積を用いることで、Khoshkam と Skandalis が提示した六項完全列を用いて $K$-理論を計算可能にする。
• 最小の自己同型拡張を適用することで、$υ[\varphi,B]$ を $\mathbb{Z}$ によるフルコーナー群交叉積に関連付け、Pimsner-Voiculescu の完全列を用いて $K$-理論を計算可能にする。
• $υ[\varphi]$ と $C^*(S)$ の間の同型は、Li が定義した $C^*(S)$ の生成子と関係が $υ[\varphi]$ のそれらと一致することを検証することで確立される。これには、$*$-準同型とその逆写像を構成する。
• $K_*(\mathds{U}[\varphi]) \cong K_*(C^*(G))$ の証明は、分裂完全列と Khoshkam と Skandalis の六項完全列に依拠しており、$G$ のアメニタリティにより Baum-Connes 予想が適用可能である。
• 本稿は、$\varphi$ の純粋性（$\bigcap_{n \in \mathbb{N}} \varphi^n(G) = \{e\}$）を定義として用い、$υ[\varphi]$ の単純性と純粋無限大構造を保証する主要な条件として用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核が無限大である群の単射自己準同型に対して、普遍的 $C^*$-代数を構成できるか。これは、核が有限のときの既存の構成を一般化するものか？
• RQ2 構成された $C^*$-代数 $υ[\varphi,B]$ がキルヒバーグ代数（したがって Kirchberg の定理により分類可能）となる条件は何か？
• RQ3 群 $G$ がアメニタリで $φ$ が純粋であるとき、$υ[\varphi]$ の $K$-理論は $C^*(G)$ の $K$-理論と同型か？
• RQ4 $υ[\varphi]$ は半群 $C^*$-代数 $C^*(S)$（$S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$）として実現可能か？ また、この設定において $C^*(S)$、$C^*_{s}(S)$、$C^*_{r}(S)$ は同型か？

主な発見

• 群 $G$ がアメニタリで $φ$ が純粋であるとき、$υ[\varphi,B]$ はキルヒバーグ代数である。したがって、分離可能で、核がなく、単純かつ純粋無限大である。
• $K$-理論として、$υ[\varphi]$ は $K_*(C^*(G))$ に同型である。これは六項完全列と分裂完全列を用いて示された。
• $υ[\varphi]$ は半群 $C^*$-代数 $C^*(S)$（$S = G \rtimes_\varphi \mathbb{N}$）と同型であり、この同型はアメニタリティと純粋性の条件のもとで成り立つ。
• 群 $G$ がアメニタリで $φ$ が純粋であるとき、$C^*_{r}(S)$ と $C^*_{s}(S)$ は $υ[\varphi]$ と同型である。
• $υ[\varphi]$ と $C^*(S)$ の同型は、両方の代数の生成子集合間で互いに逆の $*$-準同型を構成することで確立された。
• この結果により、$υ[\varphi]$ が Kirchberg の定理により分類可能であることが確認された。なぜなら、UCT を満たし、$[1]_0 = 1$ を満たしており、$K$-理論が $C^*(G)$ と一致するからである。