[論文レビュー] C*-algebras of Boolean inverse monoids - traces and invariant means

Charles Starling|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、タイト群コホーのハウスドルフ性を仮定した下で、ブール逆モノイド上の不変平均とそれらに付随する普遍C*-代数上のトレースの間の一対一対応を確立する。C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $ 上のトレースの空間が $ S $ 上の不変平均の空間に同型であることを証明し、これにより、任意の可分なチョケット単体が、あるAF逆モノイドの不変平均の空間として実現可能であることを示す。

ABSTRACT

To a Boolean inverse monoid $S$ we associate a universal C*-algebra $C_B^*(S)$ and show that it is equal to Exel's tight C*-algebra of $S$. We then show that any invariant mean on $S$ (in the sense of Kudryavtseva, Lawson, Lenz and Resende) gives rise to a trace on $C_B^*(S)$, and vice-versa, under a condition on $S$ equivalent to the underlying groupoid being Hausdorff. Under certain mild conditions, the space of traces of $C_B^*(S)$ is shown to be isomorphic to the space of invariant means of $S$. We then use many known results about traces of C*-algebras to draw conclusions about invariant means on Boolean inverse monoids; in particular we quote a result of Blackadar to show that any metrizable Choquet simplex arises as the space of invariant means for some AF inverse monoid $S$.

研究の動機と目的

• ブール逆モノイド $ S $ に対して、有限な適合結合を保存する表現を許容する普遍C*-代数の構成 $ C^{*}_{B}(S) $ を確立し、これがエクセルのタイトC*-代数と一致することを示す。
• 関連群コホーがハウスドルフである場合に、$ S $ 上の不変平均と $ C^{*}_{B}(S) $ 上のトレースの間の双対性を証明する。
• 追加条件（主群コホーおよび可換群コホー）のもとで、$ C^{*}_{B}(S) $ 上のトレースの空間が $ S $ 上の不変平均の空間に同型であることを示す。
• 結果をAF逆モノイドおよびタイル張りに適用し、任意の可分なチョケット単体が、あるAF逆モノイドの不変平均の空間として実現可能であることを示す。
• 既知のC*-代数上のトレースに関する結果を、特に非周期的タイル張りや自己相似群の文脈において、ブール逆モノイドの構造的性質に結びつける。

提案手法

• ブール逆モノイド $ S $ の表現で有限な適合結合を保存するものに対して、$ C^{*}_{B}(S) $ を普遍C*-代数として定義する。
• 結合を保存する表現がタイトであるという事実を用いて、$ C^{*}_{B}(S) $ がエクセルのタイトC*-代数 $ C^{*}_{\text{tight}}(S) $ に同型であることを示す。
• 条件 (H)（タイト群コホー $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ がハウスドルフであることを保証）のもとで、$ E(S) \to [0,\infty) $ で、直交する $ e,f $ に対して $ \mu(e \vee f) = \mu(e) + \mu(f) $ を満たす不変平均 $ \mu $ と $ C^{*}_{B}(S) $ 上のトレースとの間の対応を構築する。
• $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ 上の単位空間への不変測度の空間が、主群コホーまたは可換群コホーの有無にかかわらず、$ S $ 上の不変平均の空間とアフィン同型であることを証明する。
• $ C^{*}_{B}(S) $ とタイト群コホーのC*-代数との同型を用いて、トレースに関する結果をモノイドの文脈に移す。
• ブラックダールのチョケット単体に関する結果を応用し、任意の可分なチョケット単体が、その関連ブッターリ図のC*-代数に対応するAF逆モノイド $ S $ の不変平均の空間として実現可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な適合結合を尊重するブール逆モノイドのための普遍C*-代数をどのように構成できるか？
• RQ2 ブール逆モノイド上の不変平均とそれらに付随するC*-代数上のトレースの正確な関係は何か？
• RQ3 不変平均とトレースの間の対応が双対性を示すための条件は何か？
• RQ4 ブール逆モノイドのC*-代数上のトレースの空間が、任意の可分なチョケット単体を実現可能か？
• RQ5 非周期的タイル張りおよび自己相似群の文脈におけるC*-代数上のトレースに関する既知の結果は、ブール逆モノイド上の不変平均の文脈にどのように翻訳されるか？

主な発見

• ブール逆モノイド $ S $ の普遍C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $ は、エクセルのタイトC*-代数 $ C^{*}_{\text{tight}}(S) $ に同型であり、これにより標準的なC*-代数的実現が確立される。
• 条件 (H) の下で、タイト群コホー $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ がハウスドルフであることが保証されると、$ S $ 上の不変平均は $ C^{*}_{B}(S) $ 上のトレースに一意に写され、逆も成り立つ。
• $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $ が主群コホーかつ可換群コホーである場合、不変平均とトレースの間の対応は双対性を示す。
• $ S $ 上の不変平均の空間と $ \mathcal{G}_{\text{tight}}(S) $-不変測度の空間（単位空間上）の間には、常にアフィン同型が存在する。
• ブッターリ図から導かれるAF逆モノイドに関して、C*-代数 $ C^{*}_{B}(S) $ は対応するAF C*-代数に同型である。
• ブラックダールのチョケット単体に関する結果を用いて、本稿は、任意の可分なチョケット単体が、あるAF逆モノイド $ S $ の不変平均の空間として実現可能であると結論づける。