[論文レビュー] Some remarks about the weak containment property for groupoids and semigroups

Claire Anantharaman-Delaroche|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 40被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、エタール群コアと半群における弱包含性の性質を調査し、逆半群および群の部分半群に対して、弱包含性（全射と射影C*-代数が一致する性質）が、射影C*-代数の核的性より厳密に弱いことを示している。逆半群において(2) ⇒ (3)の含意が成り立たない反例を提示し、特に独立性または左アメニタリティの仮定の下で弱包含性が核的性を意味することを確立している。

ABSTRACT

A locally compact groupoid is said to have the weak containment property if its full $C^*$-algebra coincides with its reduced one. This property is strictly weaker than amenability and is known to be equivalent to amenability for transformation groupoids relative to actions of exact discrete groups. We believe that for general étale groupoids one should have the same equivalence of the two properties under some mild exactness assumption. In this paper we try to support this statement.

研究の動機と目的

• エタール群コアに対して、やや弱い正確性の仮定のもとで、弱包含性がアメニタリティを意味するかを調査すること。
• 半群の3つのアメニタリティの概念である左アメニタリティ、弱包含性、射影C*-代数の核的性との関係を明確にすること。
• 逆半群および群の部分半群の全射と射影C*-代数を、関連する群コアを用いて分析すること。
• 弱包含性が逆半群における核的性を意味しないことを示す反例を提供すること。
• 特に独立性または左アメニタリティの仮定の下で、弱包含性が核的性を意味する十分条件を確立すること。

提案手法

• 逆半群 $S$ に関連する標準的群コア $\mathcal{G}_S$ を用いて、$S$ のC*-代数と群コアのC*-代数を関連付ける。
• 特に全射と射影C*-代数を用いた群コアC*-代数理論を適用し、弱包含性とアメニタリティを分析する。
• クラッフォード逆半群を用いた反例を構成し、弱包含性が射投影C*-代数の核的性を意味しないことを示す。
• リ・シンの定義に従い、群 $G$ の部分半群 $P$ に対して、全射C*-代数 $C^*(P)$ を左逆ヒル $S(P)$ を通じて $C^*_0(S(P))$ として定義する。
• 群コアと半群の射影C*-代数を関連付けるために、全射な準同型 $h: C^*_r(\mathcal{G}_{S(P)}) \to C^*_r(P)$ を用いる。
• 特に、アメニタリティを持つ群コアは弱包含性を持つという事実を活用し、群コアのアメニタリティおよびC*-代数の核的性に関する結果を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エタール群コアに対して、正確性の仮定のもとで、弱包含性がアメニタリティを意味するか？
• RQ2 逆半群において、弱包含性は射投影C*-代数の核的性と同値か？
• RQ3 群 $G$ の部分半群 $P$ が左アメニタリティをもつならば、$C^*_r(P)$ は核的か？
• RQ4 独立性条件のもとで、$C^*_r(P)$ の核的性から $P$ の弱包含性を導けるか？
• RQ5 群 $G$ が正確であるとき、核的性 ⇒ 弱包含性の逆は成り立つか？

主な発見

• クラッフォード逆半群の反例により、逆半群において弱包含性は射投影C*-代数の核的性を意味しないことが示された。この半群は非アメニタリティを持つ成分をもつ。
• 半群 $P$ が左アメニタリティをもつならば、$P$ がアメニタリティでなくても $C^*_r(P)$ は核的である。
• もし $C^*_r(P)$ が核的であり、$P$ が独立性条件を満たすならば、$P$ は弱包含性をもつ。
• 群 $G$ の部分半群 $P$ に対して、$P$ の弱包含性は、関連する逆半群 $S(P)$ の弱包含性を意味する。
• ウィレットの非アメニタリティ群コアの例を逆半群として再解釈することで、一般には弱包含性がアメニタリティや核的性を意味しないことが示された。
• 以前に提示された証明が修復不能であることが判明したため、内的正確なエタール群コアに対して弱包含性がアメニタリティを意味するか否かは、本稿で未解決のまま残されている。