[論文レビュー] C*-algebras of commuting endomorphisms

Valentin Deaconu|ArXiv.org|Jun 30, 2004

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクト空間上の2つの可換な連続な開全射から、ヒルベルト双加群の積系とカントツ・ピンスナー代数を用いてC*-代数を構成し、群胚C*-代数を一般化する。写像が局所ホメオモルフィズムである場合、カントツ・ピンスナー代数と群胚C*-代数の同型を確立し、ランク2のグラフ、部分系列、ベルヌーイ移動の構成を拡張する。

ABSTRACT

Given a compact space X and two commuting continuous open surjective maps sigma_1, sigma_2 : X --> X, we construct certain C*-algebras that reflect the dynamics of the N^2-action. When the maps sigma_1, sigma_2 are local homeomorphisms, these are groupoid algebras, but in general, we will use a Cuntz-Pimsner algebra associated to a product system of Hilbert bimodules in the sense of Fowler. The motivating example for our construction is the dynamical system associated with a rank two graph by Kumjian and Pask. We consider also a two-dimensional subshift of Ledrappier, the case of two covering maps of the circle, and the two-dimensional Bernoulli shift.

研究の動機と目的

• コンパクト空間上の2つの可換な連続な開全射によって定義される力学系への群胚C*-代数の一般化を図ること。
• 局所ホメオモルフィズムでない自己準同型に対して、半群 $\mathbb{N}^2$ 上のヒルベルト双加群の積系を用いたカントツ・ピンスナー代数の構成を開発すること。
• ヒルベルト双加群と条件付き期待値を用いて、自己準同型の半群による交叉積の既存のアプローチを統合・拡張すること。
• 自己準同型が局所ホメオモルフィズムである場合、構成されたカントツ・ピンスナー代数と群胚C*-代数の同型を確立すること。
• 代表的な例への応用：ランク2のグラフ、レドゥラピエ・部分系列、円周の被覆写像、2次元のベルヌーイ移動。

提案手法

• 各 $n \in \mathbb{N}^2$ に対して $R_n = \{(x,y) \in X \times X \mid \sigma^n x = \sigma^n y\}$ を定義し、$R = \bigcup_n R_n$ に帰納的極限位相を導入する。
• 群胚 $\Gamma = \{(x, p-q, y) \in X \times \mathbb{Z}^2 \times X \mid \sigma^p x = \sigma^q y\}$ を構成し、積 $(x,k,y) \cdot (y,l,z) = (x,k+l,z)$ および逆元 $(x,k,y)^{-1} = (y,-k,x)$ を定める。
• 有限ファイバーの場合、$({\cal P}_i f)(x) = \frac{1}{\nu_i(x)} \sum_{\sigma_i(y)=\sigma_i(x)} f(y)$ で定義される条件付き期待値 $\mathcal{P}_i$ を通じた移動作用素を用いる。無限ファイバーの場合は、測度 $\mu^i_x$ による積分で定義する。
• 半群 $\mathbb{N}^2$ 上のヒルベルト双加群の積系を構成し、$E_{(m,n)} = E_{(1,0)}^{\otimes m} \otimes_A E_{(0,1)}^{\otimes n}$ とし、$E_{(1,0)} = A(\alpha_1, \mathcal{P}_1)$ および $E_{(0,1)} = A(\alpha_2, \mathcal{P}_2)$ とする。
• フォーラーの積系理論およびカントツ・ピンスナー代数の理論を適用し、Cuntz-Pimsner共変表現によって生成される普遍C*-代数 $\mathcal{O}_E$ を定義する。
• 写像 $\sigma_1, \sigma_2$ が局所ホメオモルフィズムである場合、$\mathcal{O}_E \cong C^*(\Gamma)$ を証明し、$\mathcal{P}_1 \circ \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_2 \circ \mathcal{P}_1$ が成り立つことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト空間上の2つの可換な連続な開全射によって生成される $\mathbb{N}^2$-作用の力学的性質を反映するC*-代数は、どのように構成できるか？
• RQ2 ヒルベルト双加群の積系のカントツ・ピンスナー代数が、関連する同値関係の群胚C*-代数と一致する条件は何か？
• RQ3 移動作用素と条件付き期待値は、ヒルベルト双加群の内積および加群作用を定義する上で果たす役割は何か？
• RQ4 力学系の最小性および本質的自由性の性質が、得られるC*-代数の単純性に与える影響は何か？
• RQ5 カントツ・ピンスナー代数がトーピツ代数と同型となる場合と、純粋無限となる場合の条件は何か？

主な発見

• 写像 $\sigma_1$ および $\sigma_2$ が局所ホメオモルフィズムである場合、ヒルベルト双加群の積系に関連するカントツ・ピンスナー代数 $\mathcal{O}_E$ は群胚C*-代数 $C^*(\Gamma)$ と同型である。
• 条件付き期待値 $\mathcal{P}_i$ は可換である：$\mathcal{P}_1 \circ \mathcal{P}_2 = \mathcal{P}_2 \circ \mathcal{P}_1$ であり、これは積系構成の整合性を保証する。
• 空間 $X = \{0,1\}^{\mathbb{N}^2}$ 上の2次元ベルヌーイ移動に対して、得られるカントツ・ピンスナー代数 $\mathcal{O}_E$ は、ファイバー測度が有限集合に台を持たないため、トーピツ代数 $\mathcal{T}_E$ と同型である。
• 写像 $\sigma_i$ が自己同型である場合、カントツ・ピンスナー代数 $\mathcal{O}_E$ は交叉積 $A \rtimes_{\alpha_1,\alpha_2} \mathbb{Z}^2$ と同型であり、繰り返しピムスナー構成によって回復可能である。
• すべての $R_n$ がr-離散であるとき、群胚 $\Gamma$ は局所コンパクトハウスドルフ群胚であり、ハール系を持つ。これは $\sigma_i$ が局所ホメオモルフィズムである場合に成り立つ。
• もし $\mathbb{N}^2$-作用が最小的であれば、$C^*(R)$ は単純である。もし本質的に自由であれば、$C^*(\Gamma)$ も単純である。これは、レンオーの本質的単一群胚におけるイデアルの特徴付けに従う。