[論文レビュー] Categorification of Lagrangian intersections on complex symplectic manifolds using perverse sheaves of vanishing cycles

Vittoria Bussi|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2014

Geometry and complex manifolds参考文献 23被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、複素シンプレクティック多様体内の複素ラグランジュ的交差に対して、極化と複素解析的位相における降下を用いて、消失サイクルの正規 perverse ファイバーを構成する。この研究では、ヴェルディエ双対性とモノドロミー構造を備えた、グローバルかつ正規の perverse ファイバーの存在を証明し、長年のカテゴライゼーション問題を解決するとともに、このような交差が解析的 d-臨界点集合構造を有することを確立する。

ABSTRACT

We study intersections of complex Lagrangian in complex symplectic manifolds, proving two main results. First, we construct global canonical perverse sheaves on complex Lagrangian intersections in complex symplectic manifolds for any pair of {\it oriented} Lagrangian submanifolds in the complex analytic topology. Our method uses classical results in complex symplectic geometry and some results from arXiv:1304.4508. The algebraic version of our result has already been obtained by the author et al. in arXiv:1211.3259 using different methods, where we used, in particular, the recent new theory of algebraic d-critical loci introduced by Joyce in arXiv:1304.4508. This resolves a long-standing question in the categorification of Lagrangian intersection numbers and it may have important consequences in symplectic geometry and topological field theory. Our second main result proves that (oriented) complex Lagrangian intersections in complex symplectic manifolds for any pair of Lagrangian submanifolds in the complex analytic topology carry the structure of (oriented) analytic d-critical loci in the sense of arXiv:1304.4508.

研究の動機と目的

• 複素シンプレクティック幾何におけるラグランジュ的交差数のカテゴライゼーションという長年の問題を解決すること。
• 複素解析的位相における複素ラグランジュ的交差上にグローバルかつ正規の perverse ファイバーを構成すること。
• 向き付けられた複素ラグランジュ的交差が解析的 d-臨界点集合構造を有することを証明すること。
• 既存の代数的結果に対する独立的かつ自己完結的な解析的同等物を提供すること。
• 行列式因子と三角化カテゴリを用いた交差数の第二のカテゴライゼーションの基盤を築くこと。

提案手法

• 局所的なダーブル座標と極化を用いて、ラグランジュ的交差を正則関数の臨界点集合としてモデル化する。
• 複素解析幾何における消失サイクル理論を用いて、各局所チャート上に消失サイクルの perverse ファイバーを構成する。
• 極化の変更における消失サイクルの安定化を用いて、重なり合うチャート上の perverse ファイバー間の正規同型を確立する。
• perverse ファイバーの降下理論を適用して、局所的な perverse ファイバーを交差上にグローバルかつ正規の対象に貼り合わせる。
• ジョイスの解析的 d-臨界点集合フレームワークと整合することを示すことにより、交差空間が d-臨界点集合構造を有することを証明する。
• 正則接束の平方根の存在を用いて向き付けデータを定義し、グローバルな perverse ファイバーが双対性およびモノドロミーと整合することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素シンプレクティック多様体内の2つの向き付けられた複素ラグランジュ的部分多様体の交差上に、正規かつグローバルに定義された perverse ファイバーを構成できるか？
• RQ2 重なり合うチャート上に局所的に定義された消失サイクルの perverse ファイバーは、極化の変更に対して正規同型となるか？
• RQ3 任意の複素ラグランジュ的交差は、複素シンプレクティック多様体内で解析的 d-臨界点集合構造を有するか？
• RQ4 グローバルな perverse ファイバーは、文献における代数的 d-臨界点集合および perverse ファイバー構成とどのように関係するか？
• RQ5 グローバルな perverse ファイバーは、行列式因子を用いたラグランジュ的交差数の第二のカテゴライゼーションの基盤として用いられるか？

主な発見

• 2つの向き付けられた複素ラグランジュ的部分多様体 $L$ と $M$ の複素解析的交差 $X = L \bigcap M$ 上に、正規かつグローバルに定義された perverse ファイバー $P_{L,M}^\bullet$ が構成された。
• perverse ファイバー $P_{L,M}^\bullet$ は正規同型を除いて一意であり、自然なヴェルディエ双対性およびモノドロミー同型を備えている。
• 交差 $X$ は、ジョイス理論における向き付けられた解析的 d-臨界点集合構造を自然に有する。
• この構成は代数的 d-臨界点集合フレームワークに依存せず、[BBDJS] の代数的結果に対する、最初の解析的同等物を提供する。
• グローバルな perverse ファイバー $P_{L,M}^\bullet$ は、関連する DQ モジュールの導来ホモトピー複体 $R\text{Hom}({\frak D}^{\bullet}, {\frak E}^{\bullet})[n]$ のハイパーコホモロジーと同型であり、変形量子化と関連する。
• この結果は、導来ラグランジュの Fukaya カテゴリに ${\binom{\bbZ}{2}}$-周期的三角化カテゴリ構造が存在するという予想的第二の交差数のカテゴライゼーションを支持する。