[論文レビュー] Central Limit Theorem in Holder spaces in the terms of majorizing measures

E. Ostrovsky, L. Sirota|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、現代的な主要測度理論を用いて、 Hölder空間における関数中心極限定理（CLT）の十分条件を確立する。長方形 Hölder 空間を導入し、Arnold-Imkeller および Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式の改良版を活用することで、弱く主要化する測度とヤング関数ノルムを用いた CLT 条件を導出し、古典的結果をより広いクラスの確率過程へと拡張し、統合性と連続性の制御を向上させる。

ABSTRACT

We obtain some sufficient conditions for the Central Limit Theorem for the random processes (fields) with values in the separable part of Holder space in the modern terms of majorizing (minorizing) measures, belonging to X.Fernique and M.Talagrand. We introduce a new class of Banach spaces-rectangle Holder spaces and investigate CLT in this spaces via the fractional order Sobolev-Grand Lebesgue norms. Our further considerations based on the improvement of the L.Arnold and P.Imkeller generalization of the classical Garsia-Rodemich-Rumsey inequality, which allow us to reduce degree of the distance in the important particular cases.

研究の動機と目的

• 関数中心極限定理（CLT）を、現代的な主要測度および小規模測度の枠組みを用いて Hölder 空間に拡張すること。
• 分数階ソボレフ-グランドルベーグノルムを用いて定義される、新たなバナッハ空間のクラス—長方形 Hölder 空間—を導入し、その分析を行うこと。
• 距離関数への依存度を低減するための改良された積分不等式を用いて、これらの空間における CLT の十分条件を確立すること。
• 多次元設定における古典的 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式を一般化し、特定の条件下で距離項の次数を 2 から 1 に低下させること。
• 主要測度理論を用いて、Hölder 空間における CLT を連続関数空間におけるより一般的な CLT に結びつけること。埋め込み $ d << r $ を用いる。

提案手法

• 距離関数のモジュラス連続性条件 $ \frac{\theta(\rho)}{\theta(\rho)} \to 0 $（$ \rho \to 0 $）を満たす、$ H_r(\theta) $ の分離可能な部分空間として長方形 Hölder 空間 $ H_r^o(\theta) $ を定義する。
• 改良された Arnold-Imkeller 不等式を用いて、Garsia-Rodemich-Rumsey 型推定における距離の次数を 2 から 1 に低下させ、ヤング関数 $ \Phi $ に関する条件を満たす場合に限って行う。
• ヤング関数の逆関数と球の測度に基づく新しい距離関数 $ \tau(x_1,x_2; \Phi,m) $ を定義し、三角不等式を満たし、主要化距離として機能することを示す。
• ヤング関数 $ \overline{\Phi} $ に関する弱く主要化する測度 $ m $ を用い、$ K(\overline{\Phi}) $ が有限であることを仮定し、増分の尾部挙動を制御する。
• 重要な不等式 $ \left\| C(\Phi) \sup_{\tau>0} \frac{|S_n(x_1)-S_n(x_2)|}{\tau(x_1,x_2)} \right\|_{L(\overline{\Phi})} \leq 1 $ を確立し、正規化された増分の上界を制御する。
• モーメント母関数の推定と一様な Kramer 条件を用いて、$ S_n(x_1) - S_n(x_2) $ の $ L(\overline{\Phi}) $ ノルムをバインドし、緊密性と弱収束を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心的で分離可能な確率場 $ \xi(x) $ が、長方形 Hölder 空間 $ H_r^o(\omega_0) $ で CLT を満たすための条件は何か？
• RQ2 古典的 Garsia-Rodemich-Rumsey 不等式を多次元設定に一般化し、距離関数の次数を 2 から 1 に低下させるにはどうすればよいか？
• RQ3 ヤング関数 $ \overline{\Phi} $ に関する弱く主要化する測度 $ m $ は、Hölder 空間における CLT の成立にどのような役割を果たすか？
• RQ4 新しい距離関数 $ \tau(x_1,x_2; \Phi,m) $ は、Hölder 空間における CLT において、どのように自然な主要化距離として機能するか？
• RQ5 新しい長方形 Hölder 空間およびそのノルムは、古典的 Hölder 空間およびソボレフ-グランドルベーグ空間とどのような関係にあるか？

主な発見

• 本稿は、長方形 Hölder 空間 $ H_r^o(\omega_0) $ における CLT の十分条件を確立した：$ \lim_{|\vec{\delta}| \to 0} \frac{\omega_0(\delta)}{\delta^\alpha \cdot \phi(G\gamma_R, 1/\delta)} = \infty $ であれば、CLT が成立する。
• 改良された Arnold-Imkeller 不等式により、ヤング関数 $ \Phi $ に関する条件を満たす場合、増分制御における距離の次数を 2 から 1 に低下させることができ、より鋭い評価が得られる。
• 不等式 $ \left\| C(\Phi) \sup_{\tau>0} \frac{|S_n(x_1)-S_n(x_2)|}{\tau(x_1,x_2)} \right\|_{L(\overline{\Phi})} \leq 1 $ は $ n $ に一様に成り立ち、$ S_n $ の列の緊密性を保証する。
• H^o(\theta) における CLT が成り立つのは、$ \tau_{\overline{\Phi}} << \theta $ かつ $ \theta $ が任意の距離関数で、$ m $ が $ \overline{\Phi} $ に対して弱く主要化する測度で $ K(\overline{\Phi}) < \infty $ である場合に限る。
• 古典的 CLT である $ C(T,d) $ における結果を、埋め込み $ d << r $ を通じて Hölder 空間に拡張し、主要測度を用いた新たな枠組みを提供する。
• 著者らは、分数階ソボレフ-グランドルベーグノルムを用いて定義される、従来の文献ではカバーされていない、新たなバナッハ空間のクラス—長方形 Hölder 空間—を導入した。