[論文レビュー] Characterizations of processes with stationary and independent increments under $G$-expectation

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$G$-期待値下での定常的かつ独立な増分を持つ過程の特性を述べており、その被積分関数が定数である場合には、このような過程は決定的である必要があることを証明している。また、$G$-ブラウン運動のマルティンゲール特徴付けと、一般化$G$-ブラウン運動の分解定理を確立しており、任意の平均ゼロの一般化$G$-ブラウン運動が、対称$G$-ブラウン運動と、定常的かつ独立な増分を持つ非正で非増加の$G$-マルティンゲールに分解可能であることを示している。

ABSTRACT

Our purpose is to investigate properties for processes with stationary and independent increments under $G$-expectation. As applications, we prove the martingale characterization to $G$-Brownian motion and present a decomposition for generalized $G$-Brownian motion.

研究の動機と目的

• $G$-期待値の文脈において、定常的かつ独立な増分を持つ過程の構造と性質を調査すること。
• 有限変動をもつ$G$-マルティンゲールの表現に関する未解決問題を解消すること。
• $G$-ブラウン運動の quadratic variation 追跡に基づいたマルティンゲール特徴付けを確立すること。
• 一般化$G$-ブラウン運動が、対称$G$-ブラウン運動と、定常的かつ独立な増分を持つ非正で非増加の$G$-マルティンゲールに分解可能であることを証明すること。

提案手法

• $A_t = \int_0^t h_s \, ds$ または $A_t = \int_0^t h_s \, d\langle B\rangle_s$ が、$h \in M^1_G(0,T)$ または $h \in M^{1,+}_G(0,T)$ のもとで定常的かつ独立な増分を持つならば、$h \equiv c$（ある定数$c$）であることを証明する。
• 非線形期待値枠組みと$G$-期待値の性質を用いて、定常的かつ独立な増分を持つ過程の分布を分析する。
• 伊藤の公式と$G$-伊藤積分の理論を適用し、$\langle B\rangle_t$ と$G$-期待値積分を含む過程のマルティンゲール性質を導出する。
• 有界$G$-マルティンゲールと非増加$G$-マルティンゲールを用いた分解アプローチを用いて、一般化$G$-ブラウン運動の構造を分析する。
• $f(M_t)$ がすべての非減少関数 $f \in C_{b,lip}(\mathbb{R})$ に対して$G$-マルティンゲールであるという事実を用いて、有限変動をもつ$G$-マルティンゲールを特徴付ける。
• $G$-マルティンゲールの収束理論と、$H^0_G(0,T)$ 内の基本過程による近似を用いて、表現および構造的結果を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$-期待値下で定常的かつ独立な増分を持つ過程が、どのような条件下で決定的過程に簡約されるか。
• RQ2 $\frac{d}{ds}\langle B\rangle_s$ は $M^1_G(0,T)$ の元であるか。その結果、$G$-マルティンゲール表現の一意性にどのような影響を与えるか。
• RQ3 $G$-ブラウン運動は、その quadratic variation 追跡の定常的かつ独立な増分性によって特徴付けられるか。
• RQ4 任意の平均ゼロの一般化$G$-ブラウン運動は、対称$G$-ブラウン運動と、定常的かつ独立な増分を持つ非正で非増加の$G$-マルティンゲールに分解可能か。
• RQ5 対称$G$-マルティンゲールが$G$-ブラウン運動であるための必要十分条件は何か。

主な発見

• $\frac{d}{ds}\langle B\rangle_s$ は $M^1_G(0,T)$ に属さないため、有限変動をもつ$G$-マルティンゲールの表現の一意性が保証されない。
• 対称$G$-マルティンゲール $\{M_t\}$ が$G$-ブラウン運動であるための必要十分条件は、その quadratic variation 追跡 $\{\langle M\rangle_t\}$ が定常的かつ独立な増分を持つことである。
• 対称$G$-マルティンゲール $\{M_t\}$ が$G$-ブラウン運動であるための必要十分条件は、$\langle M\rangle_t = c\langle B\rangle_t$（$c \geq 0$）を満たすことである。
• 任意の平均ゼロの一般化$G$-ブラウン運動 $\{X_t\}$ は、$X_t = M_t + L_t$ と分解可能であり、ここで $\{M_t\}$ は対称$G$-ブラウン運動、$\{L_t\}$ は定常的かつ独立な増分を持つ非正で非増加の$G$-マルティンゲールである。
• 有限変動をもつ$G$-マルティンゲールは、すべての非減少関数 $f \in C_{b,lip}(\mathbb{R})$ に対して $f(M_t)$ が$G$-マルティンゲールであるという性質によって特徴付けられ、このような過程の構造的基準を提供する。
• 有限変動をもつ$G$-マルティンゲールのクラスは、非減少リプシッツ関数との合成に関して閉じており、このような過程は $H^0_G(0,T)$ 内の基本過程によって近似可能である。