[論文レビュー] Uniqueness of the representation for $G$-martingales with finite variation

Yongsheng Song|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2010

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$G$-martingaleの有限変動表現の一意性を確立するために、新しい変動に基づく関数 $d(K)$ を導入し、$\int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s$ 型と $\int_0^t \zeta_s ds$ 型の過程を区別する。$d(K) = 0$ が絶対連続過程に対して成り立ち、$d(K) > 0$ が非退化 $\langle B\rangle$-型過程に対して成り立つことが証明され、その結果、このような過程が等しいならば、それらの被積分関数は $G$-期待値において消える必要があることが導かれる。

ABSTRACT

Our purpose is to prove the uniqueness of the representation for $G$-martingales with finite variation.

研究の動機と目的

• 有限変動を伴う $G$-martingaleの表現における一意性という未解決問題を解決すること。
• $\int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s$ 型と $\int_0^t \zeta_s ds$ 型の二つの過程クラスを、$G$-期待値の文脈で区別すること。
• 振動的テスト関数に基づく新しい関数 $d(K)$ を定義し、有限変動過程の性質を同定・分析すること。
• $\langle B\rangle$-型とルベーグ型積分が等しいならば、それらの被積分関数が $G$-期待値において消えることを証明すること。

提案手法

• $d(K) := \limsup_{n\to\infty} \hat{E}\left[\int_0^T \delta_n(s) dK_s\right]$ を定義し、ここで $\delta_n(s)$ は dyadic 区間上での交互ステップ関数である。
• $\delta_n$ の有界性と平均化性を用いて、$\zeta \in M^1_G(0,T)$ に対して $K_t = \int_0^t \zeta_s ds$ のとき $d(K) = 0$ を証明する。
• $\hat{E}\left[\int_0^T |\eta_s| ds\right] > 0$ であるとき、$K_t = \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s$ の場合に $d(K) > 0$ であることを、振動効果を強調する制御列 $h^n_s$ の構成により示す。
• $G$-期待値構造と $G$-正規分布の非退化性を用いて、$d(K)$ に正の下界を保証する。
• $d(K) > 0$ ならば $\hat{E}\left[\int_0^T |\eta_s| ds\right] > 0$ であることを示し、これにより二つの過程タイプを区別する。
• この区別を応用し、等式 $\int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s = \int_0^t \zeta_s ds$ が成り立つならば、両方の被積分関数の $L^1$-ノルムの $G$-期待値がゼロであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\langle B\rangle$-型とルベーグ測度に基づく $G$-martingaleの二つのクラスは、有限変動過程の表現において一意に区別可能か？
• RQ2 有限変動過程の上での関数 $d(K)$ は、変動が二次変動過程由来か、連続測度由来かを検出できるか？
• RQ3 $G$-期待値枠組みにおいて、有限変動を伴う $G$-martingaleの表現の一意性は成立するか？
• RQ4 $\int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s = \int_0^t \zeta_s ds$ が成り立つための条件として、$\hat{E}\left[\int_0^T |\eta_s| ds\right] = 0$ が保証されるか？
• RQ5 振動的テスト関数 $\delta_n(s)$ の列を用いて、変動過程 $K_t$ の構造的性質を抽出できるか？

主な発見

• $\zeta \in M^1_G(0,T)$ に対して $K_t = \int_0^t \zeta_s ds$ のとき、関数 $d(K)$ は $d(K) = 0$ を満たし、ルベーグ型変動を識別する基準が得られる。
• $\hat{E}\left[\int_0^T |\eta_s| ds\right] > 0$ であるとき、$K_t = \int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s$ の場合に $d(K) > 0$ であることが成り立ち、$\langle B\rangle$-型変動を検出可能である。
• $\eta, \zeta \in M^1_G(0,T)$ に対して $\int_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s = \int_0^t \zeta_s ds$ が成り立つならば、$\hat{E}\left[\int_0^T |\eta_s| ds\right] = \hat{E}\left[\int_0^T |\zeta_s| ds\right] = 0$ であることが証明され、このような等式はゼロでない被積分関数では成立しない。
• 証明では、$E_{P_{h^n}}\left[\int_0^T |\zeta_s| ds\right] = E_P\left[\int_0^T |\zeta_s| ds\right]$ を満たす制御列 $h^n_s$ の構成が行われ、測度間での期待値を保存する。
• 非退化 $\langle B\rangle$-型過程に対して、下界 $d(K) \geq A\varepsilon - \varepsilon\delta - \overline{\sigma}^2\delta > 0$ が確立され、厳密な正の性質が保証される。
• 関数 $d(K)$ 及びその区別特性を用いて、$G$-martingaleの有限変動表現の一意性が完全に確立された。