[論文レビュー] Cheeger Gromoll type metrics on the tangent bundle

Marian Ioan Munteanu|ArXiv.org|Sep 30, 2006

Geometry and complex manifoldsMathematics参考文献 20被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体 $(M,g)$ の接 bundle $T(M)$ 上に、チェーバー＝グロモル計量を一般化する1パラメータ族のリーマン計量 $g_a$ を導入し、$T(M)$ にそれと相性の良いほぼ複素構造 $J_a$ を備えることで、局所的に共形的 almost Kähler多様体とする。主な結果は、$T(M)$ が $g_a$ に関してKähler的であるのは、$a(t)$ が特定の常微分方程式を満たす場合に限ることであり、平坦性は $a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1+\sqrt{1+2t})^2}$ のとき、$a_0$ を $a(0) = 1$ となるように選ぶことで達成され、チェーバー＝グロモル型の平坦計量が得られる。

ABSTRACT

In this paper we study a Riemanian metric on the tangent bundle $T(M)$ of a Riemannian manifold $M$ which generalizes the Cheeger Gromoll metric and a compatible almost complex structure which together with the metric confers to $T(M)$ a structure of locally conformal almost Kählerian manifold. We found conditions under which $T(M)$ is almost Kählerian, locally conformal Kählerian or Kählerian or when $T(M)$ has constant sectional curvature or constant scalar curvature.

研究の動機と目的

• 接 bundle $T(M)$ 上のチェーバー＝グロモル計量を1パラメータ族の計量 $g_a$ を用いて一般化すること。
• 相性の良いほぼ複素構造 $J_a$ を定義し、$T(M)$ 上のほぼヘルミート構造を研究すること。
• $(T(M), g_a, J_a)$ が almost Kähler的、局所的に共形的 Kähler的、または Kähler的であるための条件を同定すること。
• $T(M)$ が $g_a$ を持つとき、定曲率をとるか、定スカラー曲率をとるかを調査すること。
• $a(t)$ に対する常微分方程式を解くことにより、チェーバー＝グロモル型の平坦計量を $T(M)$ 上に導出すること。

提案手法

• $t = \frac{1}{2}g(\mathtt{u}, \mathtt{u})$ とおき、垂直成分を関数 $a(t)$ で変更することで、チェーバー＝グロモル計量を一般化する1パラメータ族のリーマン計量 $g_a$ を $T(M)$ 上に定義する。
• 水平および垂直の接ベクトルの持ち上げを用いて、$g_a$ と相性の良いほぼ複素構造 $J_a$ を構成する。
• 多様体 $T_pM$ の正規直交基底から導かれる正規直交フレーム $\{E_i\}$ を用いて、$T_{(p,\mathtt{u})}T(M)$ 上で部分曲率 $\tilde{K}^a$ を計算する。
• 曲率テンソル $R$ と関数 $a(t)$ を用いて、水平、垂直、混合平面に対する部分曲率 $\tilde{K}^a(U,V)$ の明示的公式を導出する。
• $T(M)$ のスカラー曲率 $\widetilde{\mathrm{scal}}^a$ を、$M$ のスカラー曲率および $R_{e_i e_j} \mathtt{u}$ に関する曲率の縮約で表す。
• 常微分方程式 $\frac{a'(t)}{a(t)} = \frac{2}{1 + \sqrt{1 + 2t}}$ を解き、$a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ の明示的解を得る。$a_0$ を $a(0) = 1$ となるように正規化することで、平坦計量が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体 $(T(M), g_a, J_a)$ がいつ almost Kähler的、局所的に共形的 Kähler的、または Kähler的であるか。
• RQ2 $T(M)$ が計量 $g_a$ を持つとき、定部分曲率をとる条件は何か。そのときの $a(t)$ の条件は何か。
• RQ3 $M$ が実空間形式のとき、$T(M)$ が $g_a$ を持つと定スカラー曲率をとるような関数 $a(t)$ は何か。
• RQ4 非自明な $a(t)$ が存在して、$(T(M), g_a)$ が平坦になるか。
• RQ5 平坦にするための計量 $g_a$ の明示的形は何か。対応する $a(t)$ は何か。

主な発見

• $(T(M), g_a)$ がKähler的であるのは、$a(t)$ が特定の常微分方程式を満たす場合に限る。そのような $a(t)$ は存在せず、チェーバー＝グロモル型計量では $T(M)$ がKähler多様体にならないことが証明される。
• 平坦なチェーバー＝グロモル型計量は、$a(t) = a_0 \frac{e^{2\sqrt{1+2t}}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ で、$a_0$ を $a(0) = 1$ となるように選ぶことで存在し、$T(M)$ 上に平坦計量 $g_1$ を与える。
• $T(M)$ のスカラー曲率 $\widetilde{\mathrm{scal}}^a$ は、$M$ のスカラー曲率、$|R_{e_i e_j} \mathtt{u}|^2$ の曲率の縮約、および $F_2(t)$、$F_3(t)$、$a(t)$ に依存する公式で与えられ、$m = \dim M$ に明示的な依存関係を示す。
• $M$ が定曲率 $c$ の実空間形式のとき、$T(M)$ が $g_a$ を持つと定スカラー曲率をとるための条件は、$a(t)$、$a'(t)$、$a''(t)$ を含む複雑な常微分方程式となり、初等関数では解けない。
• $T(M)$ の部分曲率 $\tilde{K}^a$ は、$M$ の曲率テンソルを用いて明示的に計算され、$a(t)$、$R_{e_i e_j} \mathtt{u}$、$R_{\mathtt{u} e_k} e_i$ に依存し、一般には非定数曲率であることが示される。
• $a(t) = \frac{4e^{2(\sqrt{1+2t} - 1)}}{(1 + \sqrt{1+2t})^2}$ で定義される計量 $g_1$ は、$T(M)$ を平坦にする。これにより、チェーバー＝グロモル型の非自明な平坦計量の存在が確認される。