[論文レビュー] Closed String Tachyons, Non-Supersymmetric Orbifolds and Generalised McKay Correspondence

Yang‐Hui He|ArXiv.org|Jan 22, 2003

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、$\mathbb{C}^2$ の非超対称オルビフォールドへ閉弦のタキオン凝縮の研究を拡張し、$GL(2;\mathbb{C})$ の有限部分群を分類し、これらの群に対するヒルツブルフ＝ヨンの連分数解消法を一般化する。一般化された McKay 対応を確立し、タキオン凝縮過程が特異点の部分的解消に対応することを示し、非超対称オルビフォールドの崩壊が一般化された連分数による解消として幾何学的に対応することを明らかにし、積群における離散的ねじれが生じる条件を同定する。

ABSTRACT

We study closed string tachyon condensation on general non-supersymmetric orbifolds of C^2. Extending previous analyses on Abelian cases, we present the classification of quotients by discrete finite subgroups of GL(2; C) as well as the generalised Hirzebruch-Jung continued fractions associated with the resolution data. Furthermore, we discuss the intimate connexions with certain generalised versions of the McKay Correspondence.

研究の動機と目的

• Abelian オルビフォールドにとどまらない、一般の非超対称 $\mathbb{C}^2/\Gamma$ オルビフォールド（$\Gamma \subset GL(2;\mathbb{C})$）における閉弦タキオン凝縮の分析を拡張すること。
• SL(2;\mathbb{C}) の ADE 群と中心拡大を用いた構成から、$GL(2;\mathbb{C})$ の有限部分群を分類すること。
• アーベル群に限らない非アーベルおよび非ゴレンシュタインなオルビフォールドに対しても、ヒルツブルフ＝ヨンの連分数解消法を一般化すること。
• 非超対称な設定における特異点の幾何的解消とタキオン凝縮を結びつける一般化された McKay 対応を確立すること。
• 特に $AD$ 型および $AE_{6,7}$ 型において、積群における離散的ねじれが生じる条件を同定し、D-brane 探査および moduli 空間へのその影響を調査すること。

提案手法

• $Z \times SL(2;\mathbb{C}) \to GL(2;\mathbb{C})$ における全射準同型 $\psi$ を用いて、$GL(2;\mathbb{C})$ のすべての有限部分群を構成し、商群間の同型を用いて半直積を形成する。
• 各群 $\Gamma$ を四重組 $(G_1, N_1; G_2, N_2)$ として定義し、$G_1/N_1 \cong G_2/N_2$ を満たすことで、$GL(2;\mathbb{C})$ のすべての非巡回有限部分群を体系的に生成する。
• トーリック逆アルゴリズムを適用し、以前アーベル群にのみ使われた一般化されたヒルツブルフ＝ヨンの連分数を用いて、オルビフォールド特異点を解消する。
• 2次元の conformal field theory における世界面 renormalization group (RG) フローを用いて、タキオン凝縮を、解消された幾何学に対応する IR 固定点へのフローとしてモデル化する。
• CFT におけるチャーラル環の構造を分析し、タキオン凝縮過程をオルビフォールド特異点の部分的解消として幾何学的に解釈する。
• 積群のシュール乗数 $M(G)$ を計算して離散的ねじれの有無を特定し、公式 $M(G_1 \times G_2) \simeq M(G_1) \times M(G_2) \times \mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(G_1/G_1', G_2/G_2')$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $SL(2;\mathbb{C})$ の ADE 群を超えて、非超対称な $\mathbb{C}^2$ オルビフォールドを含む $GL(2;\mathbb{C})$ の有限部分群の分類を、どのように体系的に拡張できるか？
• RQ2 非アーベル的かつ非ゴレンシュタインなオルビフォールドに対する一般化されたヒルツブルフ＝ヨンの連分数解消法とは何か？ そして、タキオン凝縮とどのように関係するか？
• RQ3 非超対称オルビフォールドの文脈において、一般化された McKay 対応はどのようにして出現するのか？ そして、特異点の幾何的解消とどのように関連するか？
• RQ4 $A_n E_7$ や $A_9 E_6^{(III)}$ のような積群において、離散的ねじれが生じる条件は何か？ そして、D-brane 探査およびゲージ理論に与える物理的影響は何か？
• RQ5 閉弦系におけるタキオン凝縮過程は、世界面 RG フローによって完全に記述可能か？ そして、それが超対称 Calabi-Yau 幾何に移行する過程をどのように導くか？

主な発見

• $GL(2;\mathbb{C})$ のすべての有限部分群は、四重組 $(G_1, N_1; G_2, N_2)$ によって分類され、$G_1/N_1 \cong G_2/N_2$ を満たし、群は $\Gamma = \psi(G_1 \times_\phi G_2)$ として実現される。ここで $\psi$ は $Z \times SL(2;\mathbb{C})$ から $GL(2;\mathbb{C})$ への自然な準同型である。
• 一般化されたヒルツブルフ＝ヨンの連分数解消法が非アーベル群へ拡張され、タキオン凝縮過程がオルビフォールド特異点の部分的解消として幾何学的に記述可能であることが示された。
• タキオン凝縮過程は、世界面 CFT における RG フローに対応し、IR 固定点が解消され、超対称な幾何を表していることが示された。
• 離散的ねじれは $A_n E_7$（$n$ が奇数のとき）や $A_9 E_6^{(III)}$ のような積群に生じ、後者は $\mathbb{Z}_3$ の離散的ねじれを許容し、NS-NS B フィールドをオンにした場合、クワイバーダイアグラムに3つの非連結成分が現れる。
• シュール乗数の計算により、非自明な離散的ねじれを有するのは $AD$ 型および $AE_{6,7}$ 型に限られ、$M(G)$ は個々の $M(G_i)$ が自明な場合、$\mathrm{Hom}_{\mathbb{Z}}(G_1/G_1', G_2/G_2')$ によって決定される。
• 一般化された McKay 対応が、$\Gamma \subset GL(2;\mathbb{C})$ の表現論と連分数による特異点の解消との間のリンクとして確立され、古典的対応が非超対称な設定へと拡張された。