[論文レビュー] Colored range closest-pair problem under general distance functions

Jie Xue|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Computational Geometry and Mesh Generation被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の単調ノルム（すべてのLp-ノルムおよびL∞を含む）における、色付き範囲最近接ペア（CRCP）問題の最初の効率的な(1+ε)-近似データ構造を提示する。2次元空間における直交範囲クエリを、対数未満のクエリ時間とほぼ線形空間で処理可能であり、従来の研究が色なし点およびユークリッド距離に限定されていたのに対し、顕著な前進を遂げた。

ABSTRACT

The range closest-pair (RCP) problem is the range-search version of the classical closest-pair problem, which aims to store a given dataset of points in some data structure such that when a query range X is specified, the closest pair of points contained in X can be reported efficiently. A natural generalization of the RCP problem is the colored range closest-pair (CRCP) problem in which the given data points are colored and the goal is to find the closest bichromatic pair contained in the query range. All the previous work on the RCP problem was restricted to the uncolored version and the Euclidean distance function. In this paper, we make the first progress on the CRCP problem. We investigate the problem under a general distance function induced by a monotone norm; in particular, this covers all the Lp-metrics for p ≥ 1 and the L∞-metric. We design efficient (1+e)-approximate CRCP data structures for orthogonal queries in R2, where e > 0 is a pre-specified parameter. The highlights are two data structures for answering rectangle queries, one of which uses O(e−1n log4n) space and O(log4n + e−1 log3n + e−2 log n) query time while the other uses O(e−1n log3n) space and O(log5n + e−1 log4n + e−2 log2n) query time, where n is the size of the input dataset. In addition, we also apply our techniques to the CRCP problem in higher dimensions, obtaining efficient data structures for slab, 2-box, and 3D dominance queries. Before this paper, almost all the existing results for the RCP problem were achieved in R2.

研究の動機と目的

• 一般の距離関数の下で、二色点ペアを想定した範囲最近接ペア問題を色付き設定に拡張すること。
• 単調ノルム（LpおよびL∞ノルムを含む）の下で、効率的な近似クエリをサポートすること。
• R²およびそれ以上の次元における直交クエリ、スラブクエリ、2ボックスクエリ、3次元支配クエリに対して、低空間および低クエリ時間のデータ構造を設計すること。
• 従来のRCP結果（R²およびユークリッド距離に限定されていた）を、計算幾何学におけるより広範な応用可能性に向けて一般化すること。

提案手法

• R²における直交クエリのための(1+ε)-近似データ構造を、範囲分解と階層的分割を用いて設計する。
• 二段階アプローチを採用：1つ目の構造はO(ε⁻¹n log⁴n)の空間とO(log⁴n + ε⁻¹log³n + ε⁻²log n)のクエリ時間、2つ目の構造はO(ε⁻¹n log³n)の空間とO(log⁵n + ε⁻¹log⁴n + ε⁻²log²n)のクエリ時間を持つ。
• クエリ範囲をより小さな部分範囲に分割することで、候補となる二色点ペアを効率的に特定する範囲分解技術を適用する。
• スラブクエリ、2ボックスクエリ、3次元支配クエリのための直交範囲探索プリミティブを用いて、高次元へのフレームワークの拡張を実現する。
• 単調ノルムの性質を活用して近似誤差を制限しつつ、効率的な事前処理とクエリ操作を維持する。
• 分数連鎖化と範囲木を用いて、部分範囲内での高速な直交範囲報告および最近接ペア計算をサポートする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の距離関数（ユークリッド距離を超えて）において、色付き範囲最近接ペア問題を効率的に解けるか？
• RQ2 R²における直交クエリにおいて、(1+ε)-近似CRCPの空間とクエリ時間のトレードオフはいかなるものか？
• RQ3 CRCP問題をスラブ、2ボックス、3次元支配クエリなどの高次元クエリにどのように拡張できるか？
• RQ4 単調ノルムの下で、ほぼ線形空間と対数未満のクエリ時間を持つCRCP問題の解法は可能か？

主な発見

• 本稿ではR²における2つの直交クエリデータ構造を提示する：1つ目はO(ε⁻¹n log⁴n)の空間とO(log⁴n + ε⁻¹log³n + ε⁻²log n)のクエリ時間、2つ目はO(ε⁻¹n log³n)の空間とO(log⁵n + ε⁻¹log⁴n + ε⁻²log²n)のクエリ時間。
• スラブ、2ボックス、3次元支配クエリに対して、高次元でも効率的なデータ構造が得られた。
• 一般の単調ノルムフレームワークを用いて、すべてのLp-ノルム（p ≥ 1）およびL∞-ノルムをカバーする。
• 本手法は、高次元への拡張が可能であり、スラブ、2ボックス、3次元支配クエリに対して効率的なデータ構造を提供する。
• 本研究は、一般の距離関数におけるCRCP問題に初めて取り組んだものであり、従来の色なし点およびユークリッド距離に限定された制限を打ち破った。
• 本研究は、近似CRCPの理論的効率保証を持つ、より広範な幾何的設定における基盤を確立した。