[論文レビュー] Comparison theorems for Gromov-Witten invariants of smooth pairs and of degenerations

Dan Abramovich, Steffen Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量の4つの異なるアプローチ——リーの元来理論、アブラモビッチ＝ファンテキのオルビフォールド法、キムの対数的拡張、アブラモビッチ＝チェン＝グロス＝シーベルトの拡張なしの対数的理論——の同値性を、それらのモジュライ空間の間の準同型を構成し、その押し出しにおいて仮想基本クラスが整合することを示すことによって確立する。主な結果は、4つの理論がすべて同一のグロモフ＝ウィッテン不変量をもたらすことである。

ABSTRACT

We consider four approaches to relative Gromov-Witten theory and Gromov-Witten theory of degenerations: Jun Li's original approach, Bumsig Kim's logarithmic expansions, Abramovich-Fantechi's orbifold expansions, and a logarithmic theory without expansions due to Gross-Siebert and Abramovich-Chen. We exhibit morphisms relating these moduli spaces and prove that their virtual fundamental classes are compatible by pushforward through these morphisms. This implies that the Gromov-Witten invariants associated to all four of these theories are identical.

研究の動機と目的

• 退化または特異な被写体に対する相対的グロモフ＝ウィッテン不変量の複数の構成を比較する長年の問題を解決すること。
• リーの拡張された被写体、アブラモビッチ＝ファンテキのオルビフォールド拡張、キムの対数的拡張、アブラモビッチ＝チェン＝グロス＝シーベルトの対数なし理論の4つの異なる理論的枠組みを統一すること。
• 幾何学的および変形理論的基礎が異なっていても、4つの理論が同一のグロモフ＝ウィッテン不変量を生成することを示すこと。
• これらの構成にわたる仮想基本クラスの整合的な枠組みを確立し、数え上げ幾何学における一貫性を保証すること。
• 退化や相対不変量を含む応用において、これらの理論を相互に置き換え可能にする基盤となる比較を提供すること。

提案手法

• ${\mathsf{AF}}$, ${\mathsf{Li}}$, ${\mathsf{Kim}}$, ${\mathsf{ACGS}}$ の4つの理論にそれぞれ関連する安定写像のモジュライ空間の間の明示的な準同型を構成する。
• 変形理論および対数幾何を用いて、それぞれのモジュライ空間の障害理論を関連付ける。
• 対数的余接複体と普遍的被写体構成を用いて、仮想基本クラスを比較する。
• 各理論の仮想基本クラスが、構成された準同型を通じて同じように押し出されることを示す。
• 対数的余接複体に依存しない相対的構成を用いて仮想基本クラスを定義し、リーの元来のアプローチと比較可能にする。
• トロスおよびスタック論的技術を用いて、特にラインバンドルおよびその拡張の文脈における接バンドルと変形空間を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーの拡張された被写体法によって計算されたグロモフ＝ウィッテン不変量は、アブラモビッチ＝ファンテキのオルビフォールド理論によるものと同値か？
• RQ2 キムの対数的拡張アプローチは、変形理論的構造が異なるにもかかわらず、リーの元来理論と同一の不変量をもたらすと示せるか？
• RQ3 アブラモビッチ＝チェン＝グロス＝シーベルトの対数なし理論は、他の3つのアプローチと同一の不変量をもたらすか、特に拡張がない状況でも同様か？
• RQ4 4つの理論の仮想基本クラスの正確な関係は何か？また、自然な準同型による押し出しにおいてそれらはどのように関係するか？
• RQ5 4つの理論にわたる統一された仮想基本クラス枠組みを確立できるか？これにより、数え上げ幾何学における一貫性が保証されるか？

主な発見

• ${\mathsf{AF}}$ のモジュライ空間の仮想基本クラスは、準同型 $\Psi$ を通じてリー理論のそれへ同じように押し出される。
• ${\mathsf{Kim}}$ の対数的モジュライ空間の仮想基本クラスは、準同型 $\Theta$ を通じてリー理論のそれへ同じように押し出される。
• ${\mathsf{Kim}}$ のモジュライ空間の仮想基本クラスは、準同型 $\Upsilon$ を通じてアブラモビッチ＝チェン＝グロス＝シーベルト理論のそれへ同じように押し出される。
• ${\mathsf{Li}}$, ${\mathsf{AF}}$, ${\mathsf{Kim}}$, ${\mathsf{ACGS}}$ の4つの理論すべてが、同一の一次および従属グロモフ＝ウィッテン不変量を生成する。
• 仮想基本クラスの整合性は、対数的余接複体に依存しない普遍的被写体構成を通じて確立される。
• 4つの理論の同値性は、それらの仮想サイクルの押し出しが一致することを示すことによって証明され、異なる基礎的アプローチ間の整合性が確認される。