[論文レビュー] Computational Higher Type Theory IV: Inductive Types

Evan Cavallo, Robert Harper|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、計算的高階型理論における帰納型の形式的枠組みを導入し、型理論的アプローチを用いて帰納的構成をサポートする新たな型システムを拡張する。高次元型構造を用いることで、依存パターンマッチングと証明関連の等価性を可能にする、健全かつ完全な帰納型の計算体系を確立する。

ABSTRACT

This is the fourth in a series of papers extending Martin-Löf's meaning explanation of dependent type theory to higher-dimensional types. In this installment, we show how to define cubical type systems supporting a general schema of indexed cubical inductive types whose constructors may take dimension parameters and have a specified boundary. Using this schema, we are able to specify and implement many of the higher inductive types which have been postulated in homotopy type theory, including homotopy pushouts, the torus, $W$-quotients, truncations, arbitrary localizations. By including indexed inductive types, we enable the definition of identity types. The addition of higher inductive types makes computational higher type theory a model of homotopy type theory, capable of interpreting almost all of the constructions in the HoTT Book (with the exception of inductive-inductive types). This is the first such model with an explicit canonicity theorem, which specifies the canonical values of higher inductive types and confirms that every term in an inductive type evaluates to such a value.

研究の動機と目的

• 計算的高階型理論における帰納型の形式的定式化を図り、複雑な帰納的構成をサポートする型システムの拡張を行う。
• 高次元型と依存パターンマッチングが存在する状況下でも型安全性と計算的十分性を保証すること。
• 証明関連の等価性をサポートする変換規則を定義し、帰納型ファミリー全体にわたって型の正しさを保持すること。
• 計算と論理的推論の両方をサポートする型理論的枠組みに帰納型を統合すること。
• 高階型理論に基づく形式的検証および証明支援ツールの基盤を提供すること。

提案手法

• 帰納型宣言と依存関係を管理するための洗練されたコンテキスト構造 (Γ; γ.¯I; γ.Θ; ¯x.∅) を有する型システムを導入する。
• 証明関連の判断に基づく変換規則を採用し、矢印記号に下付き添え字の射影 (p_j : b_j) を用いて等価性証明を追跡する。
• パスに基づく等価性と依存除去をモデル化する高次元型構造を用いて帰納型を表現する。
• 置換およびパターンマッチングの下で型の正しさを保証する形式的な変換メカニズムを適用する。
• コンテキストと型ファミリーに対する閉包作用素を用いて帰納型を定義し、相互およびネストされた帰納的定義をサポートする。
• 証明関連の等価性システムと計算体系を統合し、変換が単なる判断ではなく計算的内容を有することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 帰納型はどのように計算的高階型理論に形式的に統合可能であり、型安全性と計算的挙動を保つことができるか？
• RQ2 帰納型の変換メカニズムにおいて、証明関連の等価性の役割は何か？
• RQ3 高次元型システムにおいて、依存パターンマッチングをどのように健全にモデル化できるか？
• RQ4 相互およびネストされた帰納的定義をサポートするには、コンテキストおよび型ファミリーにどのような構造的制約が必要か？
• RQ5 提案された変換規則は、帰納型ファミリーおよびその除去において型の正しさをどのように保証するか？

主な発見

• 本稿は、計算的高階型理論における帰納型の健全かつ完全な型システムを確立し、依存パターンマッチングと証明関連の等価性をサポートする。
• 変換規則 (p_j : b_j) は置換の下でも型の正しさを保ち、証明を伴う型の等価性をサポートすることが示された。
• コンテキスト構造 (Γ; γ.¯I; γ.Θ; ¯x.∅) は、相互依存を持つ帰納型ファミリーのモジュラーかつ拡張可能な定義を可能にする。
• この枠組みは計算と論理的推論の両方をサポートしており、形式的検証および証明支援ツールに適している。
• すべての帰納型除去が適切に型付けされており、与えられた変換規則の下で正しく簡約されることを保証する。
• このアプローチは、型理論に基づく証明支援ツールにおける高階帰納型の実装の基盤を提供する。