[論文レビュー] Conditional Expectation as Quantile Derivative

Dirk Tasche|ArXiv.org|Apr 19, 2001

Risk and Portfolio OptimizationDecision Sciences参考文献 15被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、重み付き和の分位数の重みに関する微分が、その和が分位数に等しい条件のもとでの個々の確率変数の条件付き期待値に等しいことを確立する。さらに、この結果を応用して、期待ショートフォールド（条件付きリスク価値）の微分の閉形式表現を導出し、標準的な仮定のもとで期待ショートフォールドが一貫性のあるリスク測度であることを示す。これにより、金融におけるリスク資本配分に厳密な基礎を提供する。

ABSTRACT

For a linear combination of random variables, fix some confidence level and consider the quantile of the combination at this level. We are interested in the partial derivatives of the quantile with respect to the weights of the random variables in the combination. It turns out that under suitable conditions on the joint distribution of the random variables the derivatives exist and coincide with the conditional expectations of the variables given that their combination just equals the quantile. Moreover, using this result, we deduce formulas for the derivatives with respect to the weights of the variables for the so-called expected shortfall (first or higher moments) of the combination. Finally, we study in some more detail the coherence properties of the expected shortfall in case it is defined as a first conditional moment. Key words: quantile; value-at-risk; quantile derivative; conditional expectation; expected shortfall; conditional value-at-risk; coherent risk measure.

研究の動機と目的

• 重み付き確率変数の和の分位数の重みに関する微分が、対応する条件付き期待値に等しくなるための十分条件を確立すること。
• 分位数の微分に関する結果を、期待ショートフォールド（CVaR）リスク測度に拡張し、その重み変化に対する感度を明示的な式で導出すること。
• 金融リスク管理における標準的仮定のもとで、期待ショートフォールドがリスク測度としての一貫性を有するかを厳密に分析すること。
• リスク測度の微分と条件付き期待値を結びつけることで、資本配分問題の理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ある変数の他の変数に対する条件付き密度の存在を仮定して、分位数の微分と条件付き期待値の関係を条件付き密度理論を用いて導出する。
• 正則性条件のもとで、∑u_j X_j の α-分位数の微分を E[X_i | ∑u_j X_j = Q_α(u)] として、デルタ法を適用する。
• 分位数の微分に関する結果と条件付き期待値の性質を用いて、期待ショートフォールドリスク測度の重みに関する閉形式の表現を導出する。
• Lemma 5.1 を適用して、異なる事象における条件付き期待値を比較し、期待ショートフォールドの劣加法性および単調性の証明を可能にする。
• 指定された仮定のもとで、期待ショートフォールドが単調性、劣加法性、正homogeneity、平行移動不変性の4つの公理をすべて満たすことを確立する。
• ポートフォリオの凸錐構造を用いて、関心領域全体にわたり条件付き期待値およびリスク測度の性質の有効性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付き確率変数の和の α-分位数の重みに関する微分が、和が分位数に等しい条件のもとでの各成分の条件付き期待値に等しくなるのはどのような条件下か？
• RQ2 分位数の微分に関する結果を、期待ショートフォールドリスク測度の重みに関する微分を計算するためにどのように拡張できるか？
• RQ3 期待ショートフォールド（CVaR）は、下位 α-尾部における条件付き期待値を用いた標準的定義のもとで、一貫性のあるリスク測度とみなせるか？
• RQ4 分位数の微分が条件付き期待値に等しくなるために必要な十分な構造的仮定は、確率変数の連系分布に対してどのようなものか？
• RQ5 期待ショートフォールドの一貫性の性質は、元の分布および条件付き密度の存在にどのように依存するか？

主な発見

• X_1 が (X_2,…,X_d) に対して条件付き密度を有すると仮定したもとで、∑u_j X_j の α-分位数の重み u_i に関する微分は、E[X_i | ∑u_j X_j = Q_α(u)] に等しい。
• 期待ショートフォールドリスク測度の重み u_i に関する微分は、下位 α-尾部における条件付き期待値として与えられ、明示的な感度分析を可能にする。
• 期待ショートフォールドは、-E[X | X ≤ Q_α(X)] として定義されるとき、単調性、劣加法性、正homogeneity、平行移動不変性の4つの公理をすべて満たす。
• この結果は、連系分布が条件付き密度を有し、確率変数が一階モーメントを有すると仮定したもとで成立する。
• 技術的条件としての条件付き密度の存在が満たされていれば、元の分布が楕円型でない場合でも、期待ショートフォールドの一貫性は保たれる。
• 本稿は、先行研究における矛盾する主張とは対照的に、期待ショートフォールドが標準的定義（下位 α-尾部における条件付き期待値）のもとで一貫性を持つことを示し、文献における曖昧さを解消した。