[論文レビュー] Conjectures on counting associative 3-folds in $G_2$-manifolds

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 61被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、tamed almost $G_2$-多様体において、補助的な4形式 $\psi$ に依存しない不変量として、関連する3次元部分多様体（アソシエイティブ3-形式）を数えるスーパーポテンシャル $\Phi_\psi$ を構成することにより、$G_2$ 量子コホホロジーを定義するフレームワークを提案する。このスーパーポテンシャルは、再パrametrizationに関して変形不変性を示し、$\psi$ の選択に依存しない。主な貢献は、Gromov–Witten理論の $G_2$ に類似したアナロジーを提示することであり、不変量は閉3形式 $\varphi$ のみに依存する。また、アソシエイティブ3-形式を補正項として含む、Donaldson–Segalの $G_2$-インスタントン数え上げの修正版も提示する。

ABSTRACT

There is a strong analogy between compact, torsion-free $G_2$-manifolds $(X,φ,*φ)$ and Calabi-Yau 3-folds $(Y,J,g,ω)$. We can also generalize $(X,φ,*φ)$ to 'tamed almost $G_2$-manifolds' $(X,φ,ψ)$, where we compare $φ$ with $ω$ and $ψ$ with $J$. Associative 3-folds in $X$, a special kind of minimal submanifold, are analogous to $J$-holomorphic curves in $Y$. Several areas of Symplectic Geometry -- Gromov-Witten theory, Quantum Cohomology, Lagrangian Floer cohomology, Fukaya categories -- are built using 'counts' of moduli spaces of $J$-holomorphic curves in $Y$, but give an answer depending only on the symplectic manifold $(Y,ω)$, not on the (almost) complex structure $J$. We investigate whether it may be possible to define interesting invariants of tamed almost $G_2$-manifolds $(X,φ,ψ)$ by 'counting' compact associative 3-folds $N\subset X$, such that the invariants depend only on $φ$, and are independent of the 4-form $ψ$ used to define associative 3-folds. We conjecture that one can define a superpotential $Φ_ψ:{\mathcal U} oΛ_{>0}$ 'counting' associative $\mathbb Q$-homology 3-spheres $N\subset X$ which is deformation-invariant in $ψ$ for $φ$ fixed, up to certain reparametrizations $Υ:{\mathcal U} o{\mathcal U}$ of the base ${\mathcal U}=$Hom$(H_3(X;{\mathbb Z}),1+Λ_{>0})$, where $Λ_{>0}$ is a Novikov ring. Using this we define a notion of '$G_2$ quantum cohomology'. These ideas may be relevant to String Theory or M-Theory on $G_2$-manifolds. We also discuss Donaldson and Segal's proposal in arXiv:0902.3239, section 6.2, to define invariants 'counting' $G_2$-instantons on tamed almost $G_2$-manifolds $(X,φ,ψ)$, with 'compensation terms' counting weighted pairs of a $G_2$-instanton and an associative 3-fold, and suggest some modifications to it.

研究の動機と目的

• シンプレクティック形式 $\omega$ にのみ依存し、複素構造 $J$ に依存しない、Gromov–Witten理論に類似した $G_2$-アナロジーの不変量を構築すること。
• tamed almost $G_2$-多様体 $(X,\varphi,\psi)$ の不変量を、補助的4形式 $\psi$ に依存せず、$\varphi$ のみに依存する形で定義すること。そのために、アソシエイティブ3-形式を数える。
• カーラビ–ヤウ3-多様体と $G_2$-多様体の類似性を、特別な部分多様体のモジュライ空間に基づく不変量へと拡張すること。
• $G_2$-インスタントン不変量を定義する挑戦に応えるために、アソシエイティブ3-形式を補正項として含む形で、Donaldson–Segalの提案を修正すること。
• $\Phi_\psi$ の臨界点が存在する条件を検討し、$G_2$-インスタントン数え上げ枠組みにおいて非自明な不変量が得られる条件を明らかにすること。

提案手法

• エネルギーまたはホモロジー類のデータをエンコードするノビコフ環 $\Lambda_{>0}$ を用いて、$\mathbb{Q}$-ホモロジー3球面 $N \subset X$ をアソシエイティブ3-形式として数えるスーパーポテンシャル $\Phi_\psi: \mathcal{U} \to \Lambda_{>0}$ を定義する。
• ホモロジー類をパラメータ化し、カウントの生成関数を許容するため、基底空間 $\mathcal{U} = \mathrm{Hom}(H_3(X;\mathbb{Z}), 1 + \Lambda_{>0})$ を構成する。
• $\psi$ の小さな変形に対して、再パラメータ化 $\Upsilon: \mathcal{U} \to \mathcal{U}$ による変形不変性を仮定し、$\psi$ の選択に依存しない独立性を保証する。
• スーパーポテンシャルを用いて、$J$-擬全純曲線から生じる量子コホホロジーに類似した方法で、$G_2$ 量子コホホロジーの概念を定義する。
• アソシエイティブ3-形式を数える補正項を導入することで、Donaldson–Segalプログラムを修正し、$G_2$-インスタントンとアソシエイティブ3-形式のペアを数える。
• $\Phi_\psi$ の臨界点の障害を、$H_3(X;\mathbb{Z})$ 上の線形汎関数 $[\varphi] \cdot \alpha$ を用いて分析し、非自明な不変量が存在するためには、このペアリングに退化性が必要であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 tamed almost $G_2$-多様体におけるアソシエイティブ3-形式を数えるスーパーポテンシャル $\Phi_\psi$ を定義でき、かつ基底 $\mathcal{U}$ の再パラメータ化に関して $\psi$ の変形に不変であるか？
• RQ2 $\Phi_\psi$ が臨界点を持つ条件は何か？ これは非自明な $G_2$-インスタントン不変量の存在とどのように関係するか？
• RQ3 アソシエイティブ3-形式を補正項として含む形で、Donaldson–Segalの $G_2$-インスタントン数え上げの提案をどのように修正できるか？
• RQ4 ノビコフ環 $\Lambda_{>0}$ は、$\psi$-変形に対して不変であるように、アソシエイティブ3-形式のホモロジーまたはエネルギーデータをどのようにエンコードするか？
• RQ5 $[\varphi] \cdot \alpha$ が $H_3(X;\mathbb{Z})/\text{torsion}$ 上で単射である場合、なぜ $\Phi_\psi$ は臨界点を持たず、これは非自明な不変量の存在にどのような意味を持つのか？

主な発見

• スーパーポテンシャル $\Phi_\psi$ は、再パラメータ化 $\Upsilon$ による変形不変性を仮定しており、$\psi$ の選択に依存せず、不変量が $\varphi$ のみに依存することを保証する。
• $[\varphi] \cdot \alpha$ が $H_3(X;\mathbb{Z})/\text{torsion}$ 上で単射である場合、$\Phi_\psi$ は臨界点を持たない。非自明な不変量が存在するためには、複数のホモロジー類 $\alpha_1, \alpha_2$ が同じ $[\varphi] \cdot \alpha$ 値を持つ必要があり、これは必要条件である。
• $\Phi_\psi \equiv 0$ の場合、不変量は自明であるが、この状況には $X = Y \times S^1$（$Y$ はカーラビ–ヤウ3-多様体）のような例が含まれる。この場合、$S^1$-局在化により、$Y$ のDonaldson–Thomas不変量が回復される。
• 非自明な $G_2$-インスタントン不変量は、$[\varphi]$ が $H^3(X;\mathbb{R})$ の真部分空間にある場合にのみ定義可能であり、このとき $\Phi_\psi$ は臨界点を持ち、不変量は $W = \ker([\varphi] \cup -)$ を除いた $H^4(X;\mathbb{Z})/W$ の $\alpha$ によってパラメータ化される。
• この枠組みにより、$G_2$ 量子コホホロジーは $\Phi_\psi$ の臨界点集合を用いて定義可能であり、これは $J$-擬全純曲線から生じる量子コホホロジーに類似している。
• 本稿では、$G_2$-インスタントン不変量がアソシエイティブ3-形式のカウントによって補正される修正版のDonaldson–Segal提案を提示し、$\Phi_\psi$ が非自明である場合、このような補正が必須であることを示している。