[論文レビュー] A new definition of Kuranishi space

Dominic Joyce|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック幾何学からの先行概念に基づき、有限の安定化群をもつ、オーロリフォールに類似した幾何的対象としてのKuranishi空間の、新たな厳密な定義を提示する。これは弱2カテゴリとしてのKuranishi空間を、三段階の階層的構造—µ-Kuranishi空間（通常のカテゴリ）、m-Kuranishi空間（弱2カテゴリ）、完全Kuranishi空間（弱2カテゴリ）—として構築し、明確なカテゴリカル同値関係と埋め込みを導入することで、Gromov–Witten理論や関連する不変量における仮想基本クラスの定義に関する長年の基礎的問題を解決する。

ABSTRACT

'Kuranishi spaces' were introduced in the work of Fukaya, Oh, Ohta and Ono in symplectic geometry (see e.g. arXiv:1106.4882), as the geometric structure on moduli spaces of $J$-holomorphic curves. An alternative to Kuranishi spaces is the 'polyfolds' of Hofer, Wysocki and Zehnder (see e.g. arXiv:1407.3185). Finding a satisfactory definition of Kuranishi space has been the subject of recent debate (see e.g. arXiv:1208.1340, arXiv:1209.4410, arXiv:1510.06849). We propose three new definitions of Kuranishi space: a simple 'manifold' version, '$μ$-Kuranishi spaces', which form an ordinary category $\boldsymbolμ\bf Kur$; a more complicated 'manifold' version, 'm-Kuranishi spaces', which form a weak 2-category $\bf mKur$; and an 'orbifold' version, 'Kuranishi spaces', which form a weak 2-category $\bf Kur$. These are related by an equivalence of categories $\boldsymbolμ{\bf Kur}\simeq{ m Ho}({\bf mKur})$, where ${ m Ho}({\bf mKur})$ is the homotopy category of $\bf mKur$, and by a full and faithful embedding ${\bf mKur}\hookrightarrow\bf Kur$. We also define ($μ$-, m-)Kuranishi spaces with boundary, and with corners. We hope our definitions will become accepted as final, replacing previous definitions. Any Fukaya-Oh-Ohta-Ono Kuranishi space $\bf X$ can be made into a compact Kuranishi space $\bf X'$ uniquely up to equivalence in $\bf Kur$ (that is, up to isomorphism in ${ m Ho}({\bf Kur})$). The same holds for topological spaces with Fukaya-Oh-Ohta-Ono 'good coordinate systems', and for McDuff and Wehrheim's 'Kuranishi atlases' in arXiv:1508.01556. A compact topological space $\bf X$ with a 'polyfold Fredholm structure' in the sense of Hofer, Wysocki and Zehnder can be made into a Kuranishi space $\bf X$ uniquely up to equivalence in $\bf Kur$. This book is surveyed in arXiv:1510.07444.

研究の動機と目的

• シンプレクティック幾何学で用いられるKuranishi空間の定義における長年の曖昧さとカテゴリカルな厳密性の欠如を解消すること、特に仮想基本クラスを定義するためのものである。
• ファンクター理論的性質、貼り合わせ、障害理論を支持する数学的に正確なKuranishi構造のフレームワークを提供すること。
• Fukaya–Oh–Ohta–Ono や McDuff–Wehrheim、Yang の定義を含む、これまでの定義を統合的かつ一般化し、一貫性のあるカテゴリカルな階層にまとめる。
• J-正則曲線のモジュライ空間のための形式的なカテゴリカルな基礎を確立し、Gromov–Witten不変量やFloerコホモロジーに不可欠である。
• 境界、コーナー、一般化されたコーナーを含むように理論を拡張し、より一般的な幾何的・位相的設定への応用を可能にする。

提案手法

• Kuranishi構造の三段階のレベルを導入する：µ-Kuranishi空間（多様体に類似、自明な安定化群、通常のカテゴリ）、m-Kuranishi空間（多様体に類似、自明な安定化群、弱2カテゴリ）、Kuranishi空間（オーロリフォールに類似、有限の安定化群、弱2カテゴリ）。
• チャート (V_i, E_i, s_i, ψ_i) を持つKuranishi近傍を定義する。ここで V_i は多様体、E_i はベクトル束、s_i は滑らかな切断、ψ_i はモジュライ空間の部分集合へのホメオモルフィズムである。
• 座標変換を、近傍間の同値関係の局所的表現として形式化し、合成および制限に関して整合性を保証する適合条件を課す。
• 弱2カテゴリ構造を用いて、同型および高次の対称性をモデル化し、1-射は座標変換、2-同型はそれらの変換の同値性を表す。
• カテゴリカル同値関係を確立する：µKur ≃ Ho(mKur) であり、m-Kuranishi空間のホモトピー圏が単純なµ-Kuranishiカテゴリを回復することを示す。
• mKur ↪ Kur は完全かつ忠実な埋め込みであり、m-Kuranishi空間がKuranishi空間の完全な部分2カテゴリであることを示し、階層が整合的であり、完全Kuranishi空間が自然な終域であることを示す。
• 境界およびコーナーを含む多様体に対し、b接束および一般化されたコーナーを用いてフレームワークを拡張し、障害理論のための(b-)接空間および(b)-障害空間を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Kuranishi空間を、良い振る舞いを示す射の圏およびファンクター的構成を可能にする形で、どのように定義できるか？
• RQ2 Kuranishi空間の幾何的・位相的性質を的確に捉えるために、正しいカテゴリカル構造（通常のカテゴリ、弱2カテゴリなど）は何か？
• RQ3 Fukaya–Oh–Ohta–Ono のKuranishi構造、良い座標系、McDuff–Wehrheim のアトラスといった、これまでの定義は、新しい枠組みとどのように関係しているか？
• RQ4 理論を境界およびコーナーを含む多様体に拡張できるか？その場合、接空間および障害空間はどのように振る舞うか？
• RQ5 µ-Kuranishi、m-Kuranishi、完全Kuranishi空間の三段階のKuranishi構造の正確な関係は何か？

主な発見

• 本稿は、一貫性のあるKuranishi構造の階層を確立した：µKur ≃ Ho(mKur) であり、m-Kuranishi空間のホモトピー圏が、単純なµ-Kuranishiカテゴリを回復することを示した。
• mKur ↪ Kur は完全かつ忠実な埋め込みであり、m-Kuranishi空間がKuranishi空間の完全な部分2カテゴリであることを示し、すべての射および2-同型が保存されることを意味する。
• Fukaya–Oh–Ohta–Ono の構造、良い座標系、McDuff–Wehrheim のアトラス、Yang のKuranishi構造といった、これまでのすべてのKuranishi空間の定義が、同値性を除き一意に新しい枠組みに埋め込めることが示された。
• b接束および一般化されたコーナーを用いて、境界およびコーナーを含む多様体への理論の拡張がなされ、(b-)接空間および(b-)-障害空間の定義が一貫的に行われた。
• 完全Kuranishi空間が、d-軌道の厳密2カテゴリと同値である弱2カテゴリであることが示され、仮想基本クラスのための強固なカテゴリカルな基礎が得られた。
• 明確に定義された接空間および障害空間を介して、障害理論および仮想サイクルがサポートされ、Gromov–Witten理論やラグランジュアンFloerコホモロジーへの応用に不可欠である。