[論文レビュー] Continuous and coherent actions on wrapped Fukaya categories

Yong‐Geun Oh, Hiro TANAKA|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 47被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、カテゴリカルな局所化と継続写像を用いて、リーマン多様体の包方向の包方向ホモトピーカテゴリに対するリーマン自己同型群の連続的かつ一貫性のある $A_\infty$-ファンクター的作用を確立する。これはテレマン（2014年 ICM）の予想をリーマンおよび単調な設定で証明し、包方向ホモトピーカテゴリと局所的層のカテゴリの間のアブーザイド同型が、ゼロ切断上の微分同相写像作用とホモトピーカテゴリ上の自己同型作用を整合させることが示され、ストリングトポロジー代数への非自明な有理ホモトピー写像をもたらす。

ABSTRACT

We establish the continuous functoriality of wrapped Fukaya categories with respect to Liouville automorphisms, yielding a way to probe the homotopy type of the automorphism group of a Liouville sector. These methods prove Liouville and monotone cases of a conjecture of Teleman from the 2014 ICM. In the case of a cotangent bundle, we show that the Abouzaid equivalence between the wrapped category and the infinity-category of local systems intertwines our action with the action of diffeomorphisms of the zero section. In particular, our methods yield a typically non-trivial map from the rational homotopy groups of Liouville automorphisms to the rational string topology algebra of the zero section.

研究の動機と目的

• リーマン自己同型群という位相群の連続的かつ一貫性のある $A_\infty$-ファンクター的作用を、包方向ホモトピーカテゴリに確立すること。
• リーマンおよび単調な設定におけるホモトピーカテゴリ上の群作用に関するテレマン（2014年 ICM）の予想を解決すること。
• 包方向ホモトピーカテゴリと局所的層の $\infty$-カテゴリの間のアブーザイド同型が、ゼロ切断上の微分同相写像作用とホモトピーカテゴリ上の自己同型作用を整合させることを示すこと。
• リーマン自己同型群のホモトピー群からゼロ切断のストリングトポロジー代数への非自明な有理ホモトピー写像を構成すること。

提案手法

• リーマンバンドルにおける継続写像を通じて、包方向ホモトピーカテゴリへの連続的作用を構成するために、2回のカテゴリカルな局所化技術を用いる。
• $A_\infty$-ファンクター性とホモトピーの一貫性を用いて、リーマン自己同型群の空間から包方向ホモトピーカテゴリの自己同型空間への連続写像を定義する。
• $M = T^*Q$ の場合に、$\tw\fs{W}(M)$ と $C_*\fs{P}(Q)$ 間のアブーザイド同型を適用し、微分同相写像作用との整合性を示す。
• 単体的およびカン完備化技術を用いて、$C_*\fs{P}$ 上の作用と $\tw\fs{W}$ 上の作用を関連づけ、$\infty$-カテゴリにおける自然同型を活用する。
• 微分同相群のナーヴと局所的層の $\infty$-カテゴリの間の自然同型を構成し、$C_*\fs{P}$ が $\text{Diff}(Q)$-作用を分類することを示す。
• 局所化の普遍性とdg-ナーヴに依拠して、アブーザイド同型を通じて $C_*\fs{P}$ 上の作用と $\tw\fs{W}$ 上の作用を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン自己同型群は、リーマンセクターの包方向ホモトピーカテゴリに連続的かつ一貫性を持って作用するか？
• RQ2 包方向ホモトピーカテゴリと局所的層カテゴリの間のアブーザイド同型は、ゼロ切断上の微分同相写像作用とホモトピーカテゴリ上の自己同型作用を整合させるか？
• RQ3 リーマン自己同型群のホモトピー群からゼロ切断のストリングトポロジー代数への非自明な有理ホモトピー写像を構成できるか？
• RQ4 $\text{Aut}^o(M)$ に対して $\fs{W}(M)$ 上に連続的な $A_\infty$-ファンクター的作用が存在し、リーマンバンドルおよび継続写像の構造と整合するか？
• RQ5 アブーザイド同型の下で、ゼロ切断上の微分同相写像作用と包方向ホモトピーカテゴリ上の作用はどのように関係するか？

主な発見

• リーマン自己同型群の空間 $\text{Aut}^o(M)$ は、$\text{Aut}(\fs{W}(M))$ への $A_\infty$-準同型を通じて、包方向ホモトピーカテゴリ $\fs{W}(M)$ に連続的かつ一貫性を持って作用する。これにより、テレマン（2014年 ICM）の予想がリーマンおよび単調な設定で証明される。
• $M = T^*Q$ の場合、アブーザイド同型 $\tw\fs{W}(M) \to C_*\fs{P}(Q)$ は、$C_*\fs{P}(Q)$ 上の $\text{Diff}(Q)$-作用と $\fs{W}(M)$ 上に誘導される作用を、ゼロ切断上の微分同相写像作用を通じて整合させる。
• この構成により、通常非自明な写像が $\text{Aut}^o(M)$ の有理ホモトピー群からゼロ切断 $Q$ の有理ストリングトポロジー代数への写像として得られ、リーマンセクターの新たな不変量が得られる。
• $C_*\fs{P}(Q)$ 上の作用が、ナーヴの自然同型とカン完備化を通じて、標準的な $\text{Diff}(Q)$-作用と同値であることが示され、$\infty$-カテゴリの局所的層の $\text{Diff}(Q)$-作用を分類する。
• 証明は2回のカテゴリカルな局所化に依拠しており、重いフロイド理論的構成を避ける代わりに、局所化の普遍性を用いて作用をファンクター的に構成する。
• 同型 $\tw\fs{W}(M) \to C_*\fs{P}(Q)$ は、2次的および余終的ラッピングの比較を通じて確立され、ハミルトニアン作用と作用フィルトレーションを用い、正のラッピングが $HF_{\text{quad}}$ を保存することを証明する。