[論文レビュー] Contraction Metrics in Adaptive Nonlinear Control

Brett T. Lopez, Jean-Jacques Slotine|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Control and Stability of Dynamical SystemsEngineering参考文献 30被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、非線形系の不確実性を補償するための、収縮計量を用いた新たな適応非線形制御フレームワークを提案する。この手法は、明示的なリャプノフ関数を必要とせず、軌道収束の微分的解析とパラメータ依存の収縮計量を活用することで、可制御性が保証される非線形系、特にアンダーアクチュエーテッド系や不一致不確実性を含む系に対しても、線形行列不等式と適応則を用いて収束を保証する、グローバル漸近的安定性を達成する。

ABSTRACT

Lyapunov stability theory is the bedrock of direct adaptive control. Fundamentally, Lyapunov stability requires constructing a distance-like function which must decrease with time to ensure stability. Feedback linearization, backstepping, and sum-of-squares optimization are common approaches for constructing such a distance function, but require the system to possess certain inherent/structural properties or involves solving a non-convex optimization problem. These restrictions/complexities arise because Lyapunov stability theory relies on constructing an explicit distance function. This work uses contraction metrics to derive an adaptive controller for stabilizable nonlinear systems by constructing a distance-like function differentially rather than explicitly. Because stabilizability is in fact equivalent to the existence of a contraction metric, the proposed approach is significantly more general than available results in the literature. In particular, the method can be applied to underactuated systems. More broadly, it can also be used in transfer learning where a feedback controller has been carefully learned for a nominal system, but needs to remain effective in the presence of significant but structured variations in parameters. Simulation results illustrate the approach.

研究の動機と目的

• 明示的な制御リャプノフ関数の構築を要する伝統的なリャプノフベースの適応制御手法の制限を克服すること。
• 一致および拡張された一致不確実性を有する非線形系に適用可能な一般化された適応制御フレームワークを構築すること。
• 従来、体系的な適応制御器設計が困難とされるアンダーアクチュエーテッド系への適用を可能にすること。
• デッドゾーンやパラメータの上限・下限といったロバストネス機能を制御器設計に直接統合すること。
• 非凸の和の平方（sum-of-squares）最適化を避けるために、線形行列不等式を用いた計算的に取り扱いやすいアプローチを提供すること。

提案手法

• 制御収縮計量（CCM）を用いて、軌道間の微分的距離関数を定義し、明示的なリャプノフ関数の構築を回避する。
• パラメータ推定値に依存する計量を持つCCMフレームワークに基づく制御器を導出する。この計量は適応則により更新される。
• 軌道が所望の経路からどれほど逸れているかを測る、パラメータ依存のリーマン計量エネルギー関数 E(x, xd, θ̂) を導入する。
• パラメータ適応ダイナミクスを扱い、有界性を保証するために、エネルギー微分に一次フィルタを適用する。
• パラメータ推定値を更新する適応則 dθ̂/dt = -Γφ(x)ᵀM(γ(1),θ̂)γs(1) を採用し、仮想系解析により安定性を保証する。
• 仮想系におけるリャプノフ様関数 V を用いて、エネルギー関数がゼロに漸近収束することと、パラメータ誤差が有界であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 収縮計量を用いることで、明示的な制御リャプノフ関数を必要とせずに適応制御器を設計可能か？
• RQ2 提案手法は、不一致または拡張された一致パラメータ不確実性を有する非線形系に適用可能か？
• RQ3 可制御性のみを条件として用いる場合、本手法はアンダーアクチュエーテッド系に対しグローバル漸近的安定性を保証できるか？
• RQ4 デッドゾーンやパラメータの境界といったロバストネス機能を、適応制御フレームワークに自然に統合できるか？
• RQ5 和の平方最適化の計算複雑性を回避しつつ、安定性保証を維持できるか？

主な発見

• 提案された制御器は、リーマン計量エネルギー E(x, xd, θ̂) が t → ∞ の際にゼロに収束することを証明することで、閉ループ系のグローバル漸近的安定性を保証する。
• 可制御性と収縮計量の存在の同値性に起因し、本手法はアンダーアクチュエーテッド系を含む任意の可制御非線形系に適用可能である。
• 適応則により、パラメータ誤差が有界であり、状態軌道が所望の経路に漸近的に収束することが保証される。
• 仮想系解析により、エネルギー関数およびパラメータ誤差が両方とも有界であり、与えられた条件下でエネルギーが指数関数的に減衰することが確認された。
• 設計条件を線形行列不等式として定式化することで、非凸な和の平方最適化を回避した。
• コアの安定性証明を変更せずに、デッドゾーンやパラメータ境界といったロバスト性機能を制御器に拡張可能である。