[論文レビュー] Counterterms in Truncated Conformal Perturbation Theory

Daniel Rutter, Balt C. van Rees|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2018

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、変形された conformal field theory における摂動的正則化のハミルトニアン枠組みを構築し、3次までの摂動で、conformal perturbation theory と truncated conformal space approach (TCSA) を明示的に一致させる。$φ^4$ 理論の2次までの補正項を導出し、TCSA 截断による非局所的・非共変的項を特定し、下位の振動を抑制する滑らかな截断関数を提案することで、3次元 $φ^4$ 理論における有限かつ改善された数値的結果を実現する。

ABSTRACT

We investigate the perturbative renormalisation of deformed conformal field theories from the Hamiltonian perspective. We discuss the relation with conformal perturbation theory, to which we provide an explicit match up to third order in the coupling, and show how second-order anomalous dimensions in the Wilson-Fisher fixed points are straightforwardly computed in the Hamiltonian framework. The second part of the paper focuses on the cutoff employed in the truncated conformal space approach of Yurov and Zamolodchikov. We discuss the appearance of non-covariant and non-local counterterms to second order in the cutoff, which we concretise in the $ϕ^4$ theories, and find a smooth cutoff to deal with subleading oscillations.

研究の動機と目的

• 異常次元が conformal field theory におけるものと、truncateされた conformal space approach (TCSA) のハミルトニアン行列の固有値との間の明確な関係を確立すること。
• 特に結合定数の2次までにわたる、截断の非局所的性質に起因する TCSA における補正項の構造を調査すること。
• 次元 $d$ の $φ^4$ 理論における明示的な2次補正項作用を導出すること、非発散的下位項を含むこと。
• 下位の振動を抑制する滑らかに変化する射影子を提案すること。
• 完全な2次補正項作用を提供することにより、3次元 $φ^4$ 理論における有限かつ正確な数値的結果を可能にすること。

提案手法

• 円筒面上の状態-演算子対応を用い、CFT の状態を局所的演算子に写像し、高エネルギー状態を扱うために補正項 $H_{\text{ct}}$ を含む関係的演算子 $\sigma(x)$ でハミルトニアンを変形する。
• 異常次元は平面における conformal perturbation theory を用いて計算され、2ループのフェ Feynman 図を回避し、結合定数の3次までの一貫した展開が可能になる。
• TCSA 截断は、Tauberian 定理と交叉対称性を用いて分析され、発散を分類し、2次において非局所的・非共変的補正項が生じることを明らかにする。
• $φ^4$ 理論に対して、テンソル的および非局所的項を含む2次補正項作用を明示的に構成し、係数は摂動的に決定される。
• スペクトルにおける下位の振動を抑制する滑らかな変化関数を導入し、数値的収束性を向上させる。
• この手法を用いて、$\epsilon$-展開における Wilson-Fisher 固定点での2次異常次元を計算し、標準的な図式的手法を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面における conformal perturbation theory で計算された異常次元は、TCSA ハミルトニアン行列の固有値とどのように関係しているか？
• RQ2 特に結合定数と截断の2次において、TCSA フレームワークで必要な補正項の構造は何か？
• RQ3 なぜ TCSA に非局所的・非共変的補正項が現れるのか、そしてそれらを体系的に構成する方法は何か？
• RQ4 滑らかな截断関数は、TCSA スペクトルにおける下位の振動を抑制でき、数値的精度を向上させられるか？
• RQ5 $d$ 次元における $φ^4$ 理論の明示的な2次補正項作用は何か？ そして、それらを用いて有限な数値的結果を得られるか？

主な発見

• 本論文は、結合定数の3次までにわたる conformal perturbation theory と TCSA の明示的な一致を提供し、2ループのフェ Feynman 図を回避して異常次元を直接計算可能にする。
• ハミルトニアン枠組みにおいて、Wilson-Fisher 固定点における2次異常次元が容易に計算され、標準的な結果と整合することが確認される。
• TCSA 截断の非局所的性質に起因し、2次において非局所的・非共変的補正項が不可避であることが示される。
• 次元 $d$ の $φ^4$ 理論において、2次補正項作用が明示的に導出され、数値的改善に有用な非発散的下位項を含む。
• スペクトルにおける下位の振動を抑制する滑らかな変化する射影子が提案され、数値的 TCSA 研究における実用的改善を提供する。
• 導出された補正項作用は、3次元 $φ^4$ 理論における有限な数値的結果を得るのに十分であり、高次項の調整によりさらなる改善が可能である。