[論文レビュー] Cubical models of $(\infty, 1)$-categories

Brandon Doherty, Chris Kapulkin+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、接続を備えた立方体集合のモデル構造を構築し、被覆射が単射であり、ファイブレーション対象が内部のオープンボックスに対する右上昇性を満たすことで定義される。これは、単体的集合における内部ホーンの立方体的類似物である。この立方体的モデル構造と単体的集合上のジョイアルモデル構造との間で、三角形化関手を介してクィレン同値性が確立され、ファイブレーション立方体的対象間の弱同値が正確にドゥイアー・カン同値性であることが示され、写像空間の整合的な概念が得られる。

ABSTRACT

We construct a model structure on the category of cubical sets with connections whose cofibrations are the monomorphisms and whose fibrant objects are defined by the right lifting property with respect to inner open boxes, the cubical analogue of inner horns. We show that this model structure is Quillen equivalent to the Joyal model structure on simplicial sets via the triangulation functor. As an application, we show that cubical quasicategories admit a convenient notion of a mapping space, which we use to characterize the weak equivalences between fibrant objects in our model structure as DK-equivalences.

研究の動機と目的

• 単体的集合におけるジョイアルモデル構造に類似した、(∞,1)-圏の立方体的モデル構造の開発。
• 内部のオープンボックス（内部ホーンの立方体的類似物）に対する右上昇性により、立方体的集合におけるファイブレーション対象の定義。
• 新規の立方体的モデル構造と単体的集合上のジョイアルモデル構造との間のクィレン同値性の確立。
• 立方体的クライアリティの写像空間の自然な概念の提供により、ファイブレーション対象間の弱同値がDK同値性として特徴付けられることの実現。
• 三角形化関手が、ポイント上のストレートネッシング関手を主要な技術的道具として用いることで、クィレン同値性を示すこと。

提案手法

• エッジが同値性を表すようにマークされたマーク付き立方体的集合のモデル構造を、ジェフ・スミスの定理を用いて構築する。
• 最小マーク関手を用いて、マーク付きモデル構造から立方体的集合のモデル構造を左帰納的に誘導する。
• 内部のオープンボックスを、ファイブレーション対象の正しい充填条件を捉える立方体的ホーンの類似物として定義する。
• 単体的形状と立方体的形状の関係を一般化するため、立方体的コーン理論を導入する。これは、ポイント上のストレートネッシング構成の一般化である。
• ストレートネッシング関手 Q: sSet → cSet を用いてクィレン同値性を確立し、それがクィレン同値であり、その導来関手が三角形化関手 T の逆関手であることを示す。
• ボックス圏における接続の存在を用いて、立方体的および単体的写像空間の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内部のオープンボックスに対する右上昇性により特徴づけられるファイブレーション対象を持つような、立方体的集合上のモデル構造を構築可能か？これは、単体的集合における内部ホーンに類似する。
• RQ2 この立方体的モデル構造は、単体的集合上のジョイアルモデル構造とクィレン同値か？
• RQ3 この立方体的モデルは、ファイブレーション対象間の弱同値がDK同値性として特徴付けられる、整合的な写像空間の概念を備えているか？
• RQ4 三角形化関手は、立方体的および単体的(∞,1)-圏のモデル間のクィレン同値性を果たすか？
• RQ5 ボックス圏における接続は、立方体的および単体的ホモトピー理論の整合性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 接続を備えた立方体的集合のモデル構造が構築され、被覆射は単射であり、ファイブレーション対象は内部のオープンボックスに対する右上昇性により定義される。
• 三角形化関手 T: cSet → sSet を介して、このモデル構造は単体的集合上のジョイアルモデル構造とクィレン同値である。
• ファイブレーション立方体的対象間の弱同値は、正確にDK同値性であることが確認され、ホモトピー理論の正しさが裏付けられる。
• 三角形化関手 T はクィレン同値であることが示され、ポイント上のストレートネッシング関手 Q: sSet → cSet がクィレン同値であり、その導来関手が三角形化関手 T の逆関手であることを間接的に証明することで確立された。
• 立方体的コーン理論は、単体的形状と立方体的形状の関係を一般化するフレームワークを提供し、本研究の範囲を超えた応用が可能である。
• この構成は、ボックス圏の4つのバリエーション（接続なし、1つの接続、2つの接続）すべてに適用可能であるが、立方体的および単体的写像空間の完全な比較には、両方の接続が必要である。