[論文レビュー] Cyclic homology, $S^1$-equivariant Floer cohomology, and Calabi-Yau structures

Sheel Ganatra|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 49被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、シンプレクティック多様体上のFukaya圏の循環ホモロジーから$S^1$-equivariant Floerコホモロジーへの開-閉写像の幾何的、$S^1$-equivariantな拡張を構成する。この拡張が$C_*(S^1)$-加群としての$A_\infty$-準同型であることを証明し、Fukaya圏における滑らかでかつ固有なCalabi-Yau構造の新規構成と、滑らかでかつ固有な部分圏に対する非可換Hodge-de Rham退化のシンプレクティック的証明をもたらす。

ABSTRACT

We construct geometric maps from the cyclic homology groups of the (compact or wrapped) Fukaya category to the corresponding $S^1$-equivariant (Floer/quantum or symplectic) cohomology groups, which are natural with respect to all Gysin and periodicity exact sequences and are isomorphisms whenever the (non-equivariant) open-closed map is. These {\em cyclic open-closed maps} give (a) constructions of geometric smooth and/or proper Calabi-Yau structures on Fukaya categories (which in the proper case implies the Fukaya category has a cyclic A-infinity model in characteristic 0) and (b) a purely symplectic proof of the non-commutative Hodge-de Rham degeneration conjecture for smooth and proper subcategories of Fukaya categories of compact symplectic manifolds. Further applications of cyclic open-closed maps, to counting curves in mirror symmetry and to comparing topological field theories, are the subject of joint projects with Perutz-Sheridan [GPS1, GPS2] and Cohen [CG].

研究の動機と目的

• Fukaya圏の循環ホモロジーから$S^1$-equivariant Floerコホモロジーへの幾何的、$S^1$-equivariantな拡張である開-閉写像を確立すること。
• コンpactなシンプレクティック多様体のFukaya圏の滑らかでかつ固有な部分圏に対する非可換Hodge-de Rham退化の予想のシンプレクティック的証明を提供すること。
• 循環ホモロジーと$S^1$-equivariant Floerコホモロジーを用いてFukaya圏における滑らかでかつ固有なCalabi-Yau構造を構成すること。
• ハミルトニアンFloerホモロジーにおける幾何的$S^1$-作用とFukaya圏のHochschildホモロジーにおけるカテゴリカル$S^1$-作用の整合性を明確にすること。

提案手法

• 摂動データによる非等変性を解消するための高次ホモトピーを組み込んだ、$C_*(S^1)$-加群としての幾何的$A_\infty$準同型$\widetilde{\mathcal{OC}}$を構成し、開-閉写像$\mathcal{OC}$を拡張する。
• Hochschildホモロジー$\mathrm{CH}_*(\mathcal{F})$および$CF^*(M)$における$C_*(S^1)$-加群構造を用い、Connesの$B$作用素とBV作用素$\Delta$を、代数的および幾何的$S^1$-作用の主要な要素として用いる。
• ホモトピー軌道、固定点、Tate複体の構成を$CF^*(M)$および$\mathrm{CH}_*(\mathcal{F})$に適用し、$S^1$-equivariant Floerコホモロジーおよび循環ホモロジー群を回復する。
• 境界作用を定義するために、マーク付きの点を無視したモジュライ空間に補助的なFloerデータを導入し、不安定なストリップに対して不変なデータを含める。
• モジュライ空間$\overline{\mathcal{R}}^{d,f_i}$のDeligne-Mumfordコンパクト化を適用し、退化を制御し、開-閉写像における作用を定義する。
• 不変性およびホモトピー的一意性の議論を用いて、$S^1$-equivariantな拡張$\widetilde{\mathcal{OC}}$が摂動データの選択に依存せず、ホモトピー型で一意的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 開-閉写像$\mathcal{OC}: \mathrm{CH}_*(\mathcal{F}) \to CF^*(M)$は、技術的仮定$(\star)$の下で、$C_*(S^1)$-加群としての$S^1$-equivariantな$A_\infty$-準同型として拡張可能か？
• RQ2 $S^1$-equivariantな拡張$\widetilde{\mathcal{OC}}$が、循環ホモロジーと$S^1$-equivariant Floerコホモロジーの間で同型を誘導する条件は何か？
• RQ3 Fukaya圏のHochschildホモロジーにおける$S^1$-equivariant構造は、Floer理論を用いてどのように幾何的に実現可能か？
• RQ4 この$S^1$-equivariantな開-閉写像は、Fukaya圏におけるCalabi-Yau構造の存在にどのような含意を持つか？
• RQ5 この枠組みは、コンパクトなシンプレクティック多様体のFukaya圏の滑らかでかつ固有な部分圏に対する非可換Hodge-de Rham退化の完全にシンプレクティックな証明を提供できるか？

主な発見

• 技術的仮定$(\star)$の下で、開-閉写像$\mathcal{OC}$は、摂動データによる非等変性を解消する幾何的$S^1$-equivariantな拡張$\widetilde{\mathcal{OC}}$として、$C_*(S^1)$-加群としての$A_\infty$-準同型として存在する。
• $S^1$-equivariantな拡張$\widetilde{\mathcal{OC}}$はホモトピー型で一意的であり、摂動データの選択に依存しない。
• 非等変な開-閉写像$\mathcal{OC}$が同型であるとき、その循環ホモロジーおよび$S^1$-equivariant Floerコホモロジーへの誘導写像も同型である。
• この構成により、Fukaya圏における幾何的滑らかでかつ固有なCalabi-Yau構造が得られ、特徴標数0における循環$A_\infty$モデルの存在を示唆する。
• この枠組みにより、コンパクトなシンプレクティック多様体のFukaya圏の滑らかでかつ固有な部分圏に対する非可換Hodge-de Rham退化の予想の完全にシンプレクティックな証明が得られる。
• マーク付きの点を無視した開-閉写像は、$d > 2$では0であり、$d = 2$では恒等写像である。これは不安定な場合における非剛性と平行移動不変性によるものである。