[論文レビュー] Deformation Theory of Courant Algebroids via the Rothstein Algebra

Frank Keller, Stefan Waldmann|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2008

Advanced Topics in Algebra参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、2つの同値な次数 $-2$ の可換なグレーディング付きポアソン代数、すなわち複体 $\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ とロスティン代数 $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ を用いて、コーエント代数の代数的変形理論を構築する。ロスティン代数上にフェドソフ型の変形量子化を確立し、コーエント構造がスター積のもとでノルムがゼロの元へと変形可能であることを示す。その際、障害は古典理論におけるものと同じコホモロジーに位置する。主な貢献は、代数的・特異的幾何学と両立する量子化フレームワークの構築である。

ABSTRACT

In this paper we define Courant algebroids in a purely algebraic way and study their deformation theory by using two different but equivalent graded Poisson algebras of degree -2. First steps towards a quantization of Courant algebroids are proposed by employing a Fedosov like deformation quantization.

研究の動機と目的

• 滑らかな多様体に依存しない、完全に代数的な枠組みでコーエント代数を定式化し、特異的またはオービフォールド的文脈における変形理論を可能にする。
• クリナイとモエルジクのリー代数的バンドルの変形理論に類似した、次数 $-2$ のグレーディング付きポアソン代数を用いたコーエント代数の変形理論を構築する。
• ロスティン代数上にフェドソフに類似た構成を用いた量子化手続きを提案し、古典的変形理論と量子的構造とを結びつける。
• 変形の障害および微小変形が、古典的変形複体におけるものと一致することを示す。

提案手法

• 可換単位的代数 $\mathcal{A}$ および有限生成射影 $\mathcal{A}$-加群 $\mathcal{E}$ 上に、非退化な内積を備えたコーエント代数を代数的に定義する。
• 次数 $-2$ の2つの同値なグレーディング付きポアソン代数 $\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ と $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ を構成し、$[m,m]=0$ を満たす次数3の元 $m$ がコーエント構造に対応することを示す。
• 符号号計算を導入し、$\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ から $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ へのポアソン単射を定義する。滑らかさの仮定のもとで、これは同型となる。
• ロスティン代数 $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{L} \oplus \mathcal{L}')$ 上に、ビグレーディングを保存するフェドソフ型スター積 $\star_\kappa$ を、接続および曲率項を用いて構成する。
• 量子化を、構造的元 $\mu$ に対して $\mu \star_\kappa \mu = 0$ を要求すること、あるいはより弱く $\mu \star_\kappa \mu$ が中心的であることを要求することで定義し、高次の補正項が非ゼロでもよいようにする。
• このフレームワークをリー・リネルトペアに適用し、その標準的コーエント構造が提案されたスキームのもとで変形量子化可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな多様体に依存しない完全に代数的な設定で、コーエント代数を定義し、その変形理論を構築することは可能か？
• RQ2 $\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ と $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ の2つのグレーディング付きポアソン代数の関係は何か？ また、符号号計算により、より複雑な $\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ をより単純な $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ で置き換えられるか？
• RQ3 ロスティン代数上にフェドソフ型の変形量子化を構成し、コーエント代数的構造を量子化することは可能か？
• RQ4 古典的コーエント構造を量子的ものへと変形する障害は何か？ それらは古典的変形コホモロジーと一致するか？
• RQ5 提案された量子化フレームワークは、滑らかな状況において、$TM \oplus T^*M$ 上の標準的コーエント括弧を回復するか？

主な発見

• コーエント代数の変形理論は完全に代数的であり、次数 $-2$ の2つの同値なグレーディング付きポアソン代数 $\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ と $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ を用いて定式化されており、コーエント構造は $[m,m]=0$ を満たす次数3の元 $m$ に対応する。
• 符号号計算により、$\mathcal{C}^\bullet(\mathcal{E})$ から $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{E})$ へのポアソン単射が確立され、滑らかさの仮定のもとで同型となる。これにより、変形問題においてより単純なロスティン代数が使用可能になる。
• ロスティン代数 $\mathcal{R}^\bullet(\mathcal{L} \oplus \mathcal{L}')$ 上に、ビグレーディングを保存するフェドソフ型スター積 $\star_\kappa$ が構成され、接続および曲率項に依存する。
• リー・リネルト構造 $\mu \in \mathcal{R}^{1,2}(\mathcal{L} \oplus \mathcal{L}')$ に対して、$\mu \star_{1/2} \mu = 0$ が高次補正なしに成立し、スター積が2次までで量子的条件を保存できることを示す。
• 変形量子化の障害は、古典的変形理論におけるものと同じコホモロジー群に位置し、古典的および量子的フレームワークの整合性が確認された。
• このフレームワークは、リー・リネルトペアを大規模な例として効果的に量子化でき、滑らかな状況では $TM \oplus T^*M$ 上のコーエント括弧が回復される。