[論文レビュー] Deformed Hermitian-Yang-Mills Equation on Compact Hermitian Manifolds

Chao-Ming Lin|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 81被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpactなヘルミート多様体上における変形されたヘルミート・ヤン・ミルズ（dHYM）方程式の解の存在と事前推定を確立し、以前のケーラー結果を拡張する。$C$-下位解条件を導入し、非ケーラー設定におけるねじれを扱うために最大原理技法を適応することで、$\partial\bar{\partial}\omega = 0 = \partial\bar{\partial}(\omega^2)$ の条件下で $C^{2,\alpha}$ 推定と存在定理を証明し、インウエおよび2次的コダイラ多様体を含む特定の非ケーラー複素表面におけるdHYM方程式を解けるようにする。

ABSTRACT

Let $(X, ω)$ be a compact connected Hermitian manifold of dimension $n$. We consider the Bott-Chern cohomology and let $[χ] \in H^{1,1}_{ ext{BC}}(X; \mathbb{R})$. We study the deformed Hermitian-Yang-Mills equation, which is the following nonlinear elliptic equation $\sum_{i} \arctan (λ_i) = h(x)$, where $λ_i$ are the eigenvalues of $χ$ with respect to $ω$.

研究の動機と目的

• 変形されたヘルミート・ヤン・ミルズ（dHYM）方程式の存在理論をケーラーからコンpactなヘルミート多様体へ拡張すること。
• $C$-下位解条件の下で、コンpactなヘルミート多様体上におけるdHYM方程式の解についての事前 $C^{2,\alpha}$ 推定を確立すること。
• $\partial\bar{\partial}\omega = \partial\bar{\partial}(\omega^2) = 0$ の条件下で、滑らかな解 $\chi \in [\chi_0]$ が方程式 $\Theta_\omega(\chi) = \hat{\Theta}_\omega(\chi_0)$ を満たすことを証明すること。
• インウエおよび2次的コダイラ多様体を含む特定の非ケーラー複素表面におけるdHYM方程式の可解性を、明示的な $C$-下位解の構成により検証すること。

提案手法

• 本稿は、シュエケリヒディとグアンが導入した $C$-下位解条件を用い、$\chi$ と $\omega$ の間の固有値 $\lambda_i$ の関係で表される非線形楕円型方程式 $\sum_{i=1}^n \arctan(\lambda_i) = h(x)$ の挙動を制御する。
• 最大原理を用いて、ケーラーの場合に存在しないヘルミート計量に起因するねじれ項を注意深く取り扱うことで、事前 $C^{2,\alpha}$ 推定を導出する。
• $C^2$ 推定において最大原理を適用するために、自己準同型 $\Lambda = \omega^{-1}\chi$ の固有値を摂動し、対称関数を用いて分析する。
• $\partial\bar{\partial}\omega = \partial\bar{\partial}(\omega^2) = 0$ の条件下で存在定理を確立し、これは高次のべきへの複素閉条件の一般化である。
• 左不変形式を用いて、インウエおよび2次的コダイラ多様体上に明示的な $C$-下位解を構成し、$c > 0$ に対して $\operatorname{Tr}_\omega(c\sqrt{-1}\varphi^2 \wedge \bar{\varphi}^2) > 0$ が成り立つことを確認することで、$C$-下位解条件が満たされることを検証する。
• 主な議論は、$[\chi_0] \in H^{1,1}_{\text{BC}}(X;\mathbb{R})$ のボット・チエンコホモロジー類と、$h(x) \in [(n-2)\frac{\pi}{2} + \epsilon_0, n\frac{\pi}{2})$ の位相条件に依存しており、これにより方程式が楕円的かつ可解であることが保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ケーラーなコンpactなヘルミート多様体上でも、変形されたヘルミート・ヤン・ミルズ方程式は解けるか？
• RQ2 ヘルミート計量 $\omega$ にどのような幾何的条件が課されると、dHYM方程式が解をもつようになるか？
• RQ3 $C$-下位解条件は、非ケーラーなヘルミート設定において $C^{2,\alpha}$ 事前推定を確立するのに十分か？
• RQ4 インウエおよび2次的コダイラ多様体のような特定の非ケーラー複素表面において、dHYM方程式は解けるか？
• RQ5 $\partial\bar{\partial}\omega = 0$ のとき、位相条件 $\Theta_\omega(\chi) = \hat{\Theta}_\omega(\chi_0)$ は解の存在と整合的か？

主な発見

• 本稿は、$C$-下位解条件の下で、コンpactなヘルミート多様体上におけるdHYM方程式の解について、$X$, $\omega$, $\alpha$, $\epsilon_0$, $h$, $\chi_0$, および下位解 $\underline{u}$ に依存する定数を含む $C^{2,\alpha}$ 事前推定を証明する。
• $\partial\bar{\partial}\omega = \partial\bar{\partial}(\omega^2) = 0$ を満たすコンpactなヘルミート多様体上では、$C$-下位解が存在し、$\Theta_\omega(\underline{\chi}) > (n-2)\frac{\pi}{2}$ を満たす限り、dHYM方程式の存在定理が確立される。
• インウエ型 $\mathcal{S}_M$ 表面に対して、$c > 0$ のとき $c\sqrt{-1}\varphi^2 \wedge \bar{\varphi}^2$ が $C$-下位解であることが示され、$\operatorname{Tr}_\omega(c\sqrt{-1}\varphi^2 \wedge \bar{\varphi}^2) > 0$ が成り立つ。
• $H^{1,1}_{\text{BC}}(X;\mathbb{R})$ が1次元であり、$C$-下位解条件を満たす限り、インウエ型 $\mathcal{S}_M$ 表面および2次的コダイラ多様体に対して解の存在が確認される。
• dHYM方程式の解 $\chi$ は $\Theta_\omega(\chi) = \hat{\Theta}_\omega(\chi_0)$ を満たし、これは積分 $\int_X (\omega + \sqrt{-1}\chi)^n$ の偏角によって定義され、位相の一貫性が保証される。
• 本結果は、ケーラーの場合のコリンズ＝ジャコブ＝ヨウ [11] の結果を非ケーラーなヘルミート多様体へ一般化し、自然な幾何的・解析的条件下で、このような空間上におけるdHYM方程式の存在を初めて示す。