[論文レビュー] Deligne--Lusztig constructions for division algebras and the local Langlands correspondence, II

Charlotte Chan|arXiv (Cornell University)|May 27, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、除法代数の局所LanglandsおよびJacquet–Langlands対応をDeligne–Lusztig理論を用いて幾何的実現する。$L/K$ におけるレベル$h$の原始的特徴 $\theta$ に対して、$D^{\times}$-表現 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ が非可約であり、かつ $(n-1)(h-k)^+$ 次に集中しており、これは $\mathrm{GL}_n(K)$ の対応する超臨界表現のJacquet–Langlands転送と一致する。

ABSTRACT

In 1979, Lusztig proposed a cohomological construction of supercuspidal representations of reductive $p$-adic groups, analogous to Deligne-Lusztig theory for finite reductive groups. In this paper we establish a new instance of Lusztig's program. Precisely, let $X$ be the $p$-adic Deligne-Lusztig ind-scheme associated to a division algebra $D$ of invariant k/n over a non-Archimedean local field $K$. We study its homology groups by establishing a Deligne-Lusztig theory for families of finite unipotent groups that arise as subquotients of $D^ imes$. The homology of $X$ induces a natural correspondence between quasi-characters of the (multiplicative group of the) unramified degree-$n$ extension of $K$ and representations of $D^{ imes}$. For a broad class of characters $θ,$ we show that the representation $H_\bullet(X)[θ]$ is irreducible and concentrated in a single degree. Moreover, we show that this correspondence matches the bijection given by local Langlands and Jacquet-Langlands. As a corollary, we obtain a geometric realization of Jacquet-Langlands transfers between representations of division algebras.

研究の動機と目的

• Lusztigの $p$-進Deligne–Lusztigプログラムを除法代数へ拡張し、$L^{\times}$ の特徴と $D^{\times}$ の表現との間に幾何的対応を構成すること。
• $H_{\bullet}(X)[\theta]$ が $L^{\times}$ の原始的特徴 $\theta$ に対して $D^{\times}$ の非可約表現をもたらすことを確立すること。
• この構成が、$\mathrm{GL}_n(K)$ と $D^{\times}$ 間のJacquet–Langlands対応を幾何的に実現することを証明し、既知のLanglands対応と一致させること。

提案手法

• 非アーチメデス的局所体 $K$ 上のインバリアント $k/n$ の除法代数 $D$ に関連する $p$-進Deligne–Lusztigのind-スキーム $X$ を構成する。
• $D^{\times}$-表現 $H_{\bullet}(X)$ を、$D^{\times}$ の部分商として現れる有限ユニポテンツ群の族 $U_{h,k}^{n,q}$ を用いて研究する。
• $X_h \to U_{h,k}^{n,q}(\mathbb{F}_{q^n})$ における $(1+\tilde{\frak{p}}^h)$ の作用を分析し、問題を有限群表現に還元する。
• $L$ を $K$ の非分岐な $n$ 次拡大とするとき、$L^{\times}$ 上のレベル $h$ の原始的特徴 $\theta$ の理論を用いて、対応 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$ を定義する。
• 局所Langlands対応を用いて $\theta$ をWeil群表現 $\rho_{\theta}$ に結びつけ、Jacquet–Langlandsを経由して $D^{\times}$ の超臨界表現 $\rho_{\theta}$ に結びつける。
• $H_{\bullet}(X)[\theta]$ が $\rho_{\theta}$ と一致することを、$\mathrm{Nrd}_{D/K} \times \text{残余特徴}$ によるねじれの不変性および非常に正則な要素における特徴トレース恒等式の検証により確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 除法代数における $p$-進Deligne–Lusztig構成は、$D^{\times}$ の非可約表現をもたらすか？
• RQ2 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ は原始的特徴 $\theta$ に対して単一の次数に集中するか？
• RQ3 対応 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$ は、$\mathrm{GL}_n(K)$ と $D^{\times}$ 間のJacquet–Langlands転送を幾何的に実現するか？
• RQ4 除法代数の設定において、Deligne–Lusztig理論を用いて $D^{\times}$ の局所Langlands対応を幾何的に実現できるか？

主な発見

• $\theta$ をレベル $h$ の原始的特徴とするとき、表現 $H_{\bullet}(X)[\theta]$ は非可約であり、$(n-1)(h-k)^+$ 次に集中しており、他のすべての次数は消える。
• $H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ は、局所LanglandsおよびJacquet–Langlands対応による $\theta$ に対応する $D^{\times}$ の非可約表現 $\rho_{\theta}$ に同型である。
• 対応 $\theta \to H_{\bullet}(X)[\theta]$ は、局所LanglandsおよびJacquet–Langlandsの双対写像の合成と一致し、これにより後者の幾何的実現が得られる。
• この構成は $\mathrm{Nrd}_{D/K} \times \text{残余}$ によるねじれに関して不変であり、期待される自動形式的性質と整合していることを確認した。
• $D'$ をインバリアント $k'/n$ の別の除法代数とするとき、$H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ のJacquet–Langlands転送は $H_{(n-1)(h-k')^+}(X')[\theta]$ に同型である。これは転送の不変性を確認する。
• $H_{(n-1)(h-k)^+}(X)[\theta]$ の非常に正則な要素 $x$ におけるトレースが $\theta(x)$ に一致し、ガロア共役の和として表されることを確認した。