[論文レビュー] Deligne's conjecture for automorphic motives over CM-fields, Part I: factorization

Harald Grobner, Michael Harris+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2018

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ひとこと要約

本稿では、イチョウ＝イケダ＝ネコヴァル＝ハリス（IINH）公式と整合的コhomological自動形式上のカップ積構造を組み合わせることで、CM体上の自己形式周期とランキン＝セールバーグおよびアサイL関数の臨界値との関係を確立する。ホロモーフィック形式の自動形式周期が、モチーフ的因子分解予想に従う整合的コhomological形式の積に分解されることを示し、IINH公式およびL関数のねじれL関数の非零性予想に条件付けられる。

ABSTRACT

This is the first of two papers devoted to the relations between Deligne's conjecture on critical values of motivic $L$-functions and the multiplicative relations between periods of arithmetically normalized automorphic forms on unitary groups. The present paper combines the Ichino-Ikeda-Neal Harris (IINH) formula with an analysis of cup products of coherent cohomological automorphic forms on Shimura varieties to establish relations between certain automorphic periods and critical values of Rankin-Selberg and Asai $L$-functions of $GL(n) imes GL(m)$ over CM fields. The second paper reinterprets these critical values in terms of automorphic periods of holomorphic automorphic forms on unitary groups. As a consequence, we show that the automorphic periods of holomorphic forms can be factored as products of coherent cohomological forms, compatibly with a motivic factorization predicted by the Tate conjecture. All of these results are conditional on the IINH formula (which is still partly conjectural), as well as a conjecture on non-vanishing of twists of automorphic $L$-functions of $GL(n)$ by anticyclotomic characters of finite order.

研究の動機と目的

• ユニタリ群上の自動形式周期の間の乗法的関係と、モチーフ的L関数の臨界値に関するDeligne予想との関係を探索すること。
• シムーラ多様体上の整合的コhomological自動形式のカップ積が、CM体上でのランキン＝セールバーグおよびアサイL関数の臨界値とどのように関係するかを分析すること。
• ホロモーフィック形式の自動形式周期が、モチーフ的因子分解予想に従う整合的コhomological形式の積に分解されることを確立すること。
• 第二の論文の基礎を築くこと、すなわち臨界値をユニタリ群上の自動形式周期の観点から再解釈すること。

提案手法

• 自動形式周期とL関数の特殊値を関係付けるために、イチョウ＝イケダ＝ネコヴァル＝ハリス（IINH）公式を用いる。
• シムーラ多様体上の整合的コhomological自動形式におけるカップ積構造を適用して、周期関係を導出する。
• CM体上でのGL(n) × GL(m)のランキン＝セールバーグおよびアサイL関数を分析し、それらを自動形式周期に関連付ける。
• コhomological技法と自動形式表現論を組み合わせて、周期因子分解を研究する。
• IINH公式（まだ部分的に予想的である）および、有限位数のアンチシクロトロピック特性によるGL(n) L関数のねじれに関する非零性予想に依存する。
• 周期因子分解が、Tate予想によって予想されるモチーフ的因子分解と整合的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ群上のホロモーフィック形式の自動形式周期は、CM体上での整合的コhomological形式の積としてどのように因子分解されるか？
• RQ2 ランキン＝セールバーグおよびアサイL関数の臨界値と、シムーラ多様体上の自動形式周期との間の明確な関係は何か？
• RQ3 IINH公式およびコhomological形式上のカップ積構造が、Deligne予想の文脈における周期関係をどの程度説明できるか？
• RQ4 これらの周期関係は、Tate予想によって予想されるモチーフ的因子分解とどの程度整合するか？
• RQ5 CM体上でのGL(n) L関数のねじれL関数の非零性を保証するためには、どのような条件が必要か？

主な発見

• 本稿では、ユニタリ群上のホロモーフィック形式の自動形式周期が、CM体上での整合的コhomological自動形式の積に分解可能であることを確立した。
• GL(n) × GL(m)のランキン＝セールバーグおよびアサイL関数の臨界値が、シムーラ多様体上でのカップ積構造を通じて自動形式周期と関係づけられていることが示された。
• 周期因子分解は、Tate予想によって予想されるモチーフ的因子分解と整合的である。
• 結果は、イチョウ＝イケダ＝ネコヴァル＝ハリス公式および、有限位数のアンチシクロトロピック特性によるGL(n) L関数のねじれに関する非零性予想に条件付けられる。
• この枠組みは、第二の論文で開発されたように、臨界L値をユニタリ群上の自動形式周期の観点から再解釈する道筋を提供する。
• 分析により、コhomological自動形式、L関数の特殊値、およびCM体上でのモチーフ的算術構造との深い相互作用が明らかになった。